Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3673 / 2231
↖ ↑ ↗
← N 63.094759°
W 18.588867°		 ← 2 211.22 m → N 63.094759°
W 18.544922°		 →
↑
2 212.01 m
↓
↑
2 212.01 m
↓
N 63.074866°
W 18.588867°		 ← 2 212.73 m →
4 892 912 m²		 N 63.074866°
W 18.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2231 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44842529296875 y=0.27239990234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44842529296875 × 213)
    floor (0.44842529296875 × 8192)
    floor (3673.5)     		tx = 3673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27239990234375 × 213)
    floor (0.27239990234375 × 8192)
    floor (2231.5)     		ty = 2231
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3673 / 2231 ti = "13/3673/2231"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3673/2231.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3673 ÷ 213
    3673 ÷ 8192     		x = 0.4483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2231 ÷ 213
    2231 ÷ 8192     		y = 0.2723388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4483642578125 × 2 - 1) × π
    -0.103271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32443694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2723388671875 × 2 - 1) × π
    0.455322265625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43043708466248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32443694} λ = -0.32443694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43043708466248))-π/2
    2×atan(4.18052603646292)-π/2
    2×1.33600380134653-π/2
    2.67200760269306-1.57079632675     		φ = 1.10121128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32443694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.588867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10121128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.094759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3673 KachelY 2231 -0.32443694 1.10121128 -18.588867 63.094759
    Oben rechts KachelX + 1 3674 KachelY 2231 -0.32366995 1.10121128 -18.544922 63.094759
    Unten links KachelX 3673 KachelY + 1 2232 -0.32443694 1.10086408 -18.588867 63.074866
    Unten rechts KachelX + 1 3674 KachelY + 1 2232 -0.32366995 1.10086408 -18.544922 63.074866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10121128-1.10086408) × R
    0.000347199999999992 × 6371000     		dl = 2212.01119999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10121128-1.10086408) × R
    0.000347199999999992 × 6371000     		dr = 2212.01119999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32443694--0.32366995) × cos(1.10121128) × R
    0.000766990000000023 × 0.452516287280555 × 6371000     		do = 2211.21780141221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32443694--0.32366995) × cos(1.10086408) × R
    0.000766990000000023 × 0.452825877730534 × 6371000     		du = 2212.73061306868m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10121128)-sin(1.10086408))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452516287280555-0.452825877730534)×R²
    abs(-0.32366995--0.32443694)×0.000309590449979302×R²
    0.000766990000000023×0.000309590449979302×6371000²
    0.000766990000000023×0.000309590449979302×40589641000000     		ar = 4892911.76968016m²