Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3673 / 1955
↖ ↑ ↗
← N 68.089709°
W 18.588867°		 ← 1 823.42 m → N 68.089709°
W 18.544922°		 →
↑
1 824.08 m
↓
↑
1 824.08 m
↓
N 68.073305°
W 18.588867°		 ← 1 824.71 m →
3 327 243 m²		 N 68.073305°
W 18.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44842529296875 y=0.23870849609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44842529296875 × 213)
    floor (0.44842529296875 × 8192)
    floor (3673.5)     		tx = 3673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23870849609375 × 213)
    floor (0.23870849609375 × 8192)
    floor (1955.5)     		ty = 1955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3673 / 1955 ti = "13/3673/1955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3673/1955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3673 ÷ 213
    3673 ÷ 8192     		x = 0.4483642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1955 ÷ 213
    1955 ÷ 8192     		y = 0.2386474609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4483642578125 × 2 - 1) × π
    -0.103271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32443694
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2386474609375 × 2 - 1) × π
    0.522705078125 × 3.1415926535     		Φ = 1.64212643338464
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32443694} λ = -0.32443694}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64212643338464))-π/2
    2×atan(5.16614330016847)-π/2
    2×1.37959296746493-π/2
    2.75918593492987-1.57079632675     		φ = 1.18838961
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32443694} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.588867°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18838961 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.089709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3673 KachelY 1955 -0.32443694 1.18838961 -18.588867 68.089709
    Oben rechts KachelX + 1 3674 KachelY 1955 -0.32366995 1.18838961 -18.544922 68.089709
    Unten links KachelX 3673 KachelY + 1 1956 -0.32443694 1.18810330 -18.588867 68.073305
    Unten rechts KachelX + 1 3674 KachelY + 1 1956 -0.32366995 1.18810330 -18.544922 68.073305
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18838961-1.18810330) × R
    0.000286309999999901 × 6371000     		dl = 1824.08100999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18838961-1.18810330) × R
    0.000286309999999901 × 6371000     		dr = 1824.08100999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32443694--0.32366995) × cos(1.18838961) × R
    0.000766990000000023 × 0.373154425792441 × 6371000     		do = 1823.41659776862m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32443694--0.32366995) × cos(1.18810330) × R
    0.000766990000000023 × 0.373420040107369 × 6371000     		du = 1824.71452033624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18838961)-sin(1.18810330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373154425792441-0.373420040107369)×R²
    abs(-0.32366995--0.32443694)×0.000265614314927831×R²
    0.000766990000000023×0.000265614314927831×6371000²
    0.000766990000000023×0.000265614314927831×40589641000000     		ar = 3327243.36999148m²