Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36729 / 38329
↖ ↑ ↗
← S 29.195328°
E 21.758423°		 ← 533.19 m → S 29.195328°
E 21.763916°		 →
↑
533.25 m
↓
↑
533.25 m
↓
S 29.200124°
E 21.758423°		 ← 533.17 m →
284 321 m²		 S 29.200124°
E 21.763916°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36729 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38329 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560447692871094 y=0.584861755371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560447692871094 × 216)
    floor (0.560447692871094 × 65536)
    floor (36729.5)     		tx = 36729
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584861755371094 × 216)
    floor (0.584861755371094 × 65536)
    floor (38329.5)     		ty = 38329
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36729 / 38329 ti = "16/36729/38329"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36729/38329.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36729 ÷ 216
    36729 ÷ 65536     		x = 0.560440063476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38329 ÷ 216
    38329 ÷ 65536     		y = 0.584854125976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560440063476562 × 2 - 1) × π
    0.120880126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37975612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584854125976562 × 2 - 1) × π
    -0.169708251953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.533154197574265
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37975612} λ = 0.37975612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533154197574265))-π/2
    2×atan(0.586751318239058)-π/2
    2×0.530620861173374-π/2
    1.06124172234675-1.57079632675     		φ = -0.50955460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37975612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.758423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50955460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.195328°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36729 KachelY 38329 0.37975612 -0.50955460 21.758423 -29.195328
    Oben rechts KachelX + 1 36730 KachelY 38329 0.37985199 -0.50955460 21.763916 -29.195328
    Unten links KachelX 36729 KachelY + 1 38330 0.37975612 -0.50963830 21.758423 -29.200124
    Unten rechts KachelX + 1 36730 KachelY + 1 38330 0.37985199 -0.50963830 21.763916 -29.200124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50955460--0.50963830) × R
    8.37000000000199e-05 × 6371000     		dl = 533.252700000127m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50955460--0.50963830) × R
    8.37000000000199e-05 × 6371000     		dr = 533.252700000127m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37975612-0.37985199) × cos(-0.50955460) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872961855216291 × 6371000     		do = 533.19442484261m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37975612-0.37985199) × cos(-0.50963830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872921024262875 × 6371000     		du = 533.169485795625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50955460)-sin(-0.50963830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872961855216291-0.872921024262875)×R²
    abs(0.37985199-0.37975612)×4.08309534167817e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.08309534167817e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.08309534167817e-05×40589641000000     		ar = 284320.71743128m²