Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36728 / 38330
↖ ↑ ↗
← S 29.200124°
E 21.752929°		 ← 533.23 m → S 29.200124°
E 21.758423°		 →
↑
533.13 m
↓
↑
533.13 m
↓
S 29.204918°
E 21.752929°		 ← 533.20 m →
284 269 m²		 S 29.204918°
E 21.758423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36728 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38330 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560432434082031 y=0.584877014160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560432434082031 × 216)
    floor (0.560432434082031 × 65536)
    floor (36728.5)     		tx = 36728
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584877014160156 × 216)
    floor (0.584877014160156 × 65536)
    floor (38330.5)     		ty = 38330
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36728 / 38330 ti = "16/36728/38330"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36728/38330.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36728 ÷ 216
    36728 ÷ 65536     		x = 0.5604248046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38330 ÷ 216
    38330 ÷ 65536     		y = 0.584869384765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5604248046875 × 2 - 1) × π
    0.120849609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37966024
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584869384765625 × 2 - 1) × π
    -0.16973876953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.533250071373505
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37966024} λ = 0.37966024}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533250071373505))-π/2
    2×atan(0.586695066857529)-π/2
    2×0.5305790150672-π/2
    1.0611580301344-1.57079632675     		φ = -0.50963830
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37966024} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.752929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50963830 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.200124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36728 KachelY 38330 0.37966024 -0.50963830 21.752929 -29.200124
    Oben rechts KachelX + 1 36729 KachelY 38330 0.37975612 -0.50963830 21.758423 -29.200124
    Unten links KachelX 36728 KachelY + 1 38331 0.37966024 -0.50972198 21.752929 -29.204918
    Unten rechts KachelX + 1 36729 KachelY + 1 38331 0.37975612 -0.50972198 21.758423 -29.204918
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50963830--0.50972198) × R
    8.36800000000304e-05 × 6371000     		dl = 533.125280000194m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50963830--0.50972198) × R
    8.36800000000304e-05 × 6371000     		dr = 533.125280000194m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37966024-0.37975612) × cos(-0.50963830) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.872921024262875 × 6371000     		do = 533.225099594052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37966024-0.37975612) × cos(-0.50972198) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.872880196952736 × 6371000     		du = 533.200160171229m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50963830)-sin(-0.50972198))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872921024262875-0.872880196952736)×R²
    abs(0.37975612-0.37966024)×4.08273101389911e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.08273101389911e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.08273101389911e-05×40589641000000     		ar = 284269.13277172m²