Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36727 / 30679
↖ ↑ ↗
← N 11.399264°
E 21.747436°		 ← 598.74 m → N 11.399264°
E 21.752929°		 →
↑
598.75 m
↓
↑
598.75 m
↓
N 11.393879°
E 21.747436°		 ← 598.75 m →
358 496 m²		 N 11.393879°
E 21.752929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560417175292969 y=0.468132019042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560417175292969 × 216)
    floor (0.560417175292969 × 65536)
    floor (36727.5)     		tx = 36727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468132019042969 × 216)
    floor (0.468132019042969 × 65536)
    floor (30679.5)     		ty = 30679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36727 / 30679 ti = "16/36727/30679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36727/30679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36727 ÷ 216
    36727 ÷ 65536     		x = 0.560409545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30679 ÷ 216
    30679 ÷ 65536     		y = 0.468124389648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560409545898438 × 2 - 1) × π
    0.120819091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37956437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.468124389648438 × 2 - 1) × π
    0.063751220703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.200280366612595
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37956437} λ = 0.37956437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.200280366612595))-π/2
    2×atan(1.22174524672302)-π/2
    2×0.884875508717332-π/2
    1.76975101743466-1.57079632675     		φ = 0.19895469
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37956437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.747436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19895469 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.399264°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36727 KachelY 30679 0.37956437 0.19895469 21.747436 11.399264
    Oben rechts KachelX + 1 36728 KachelY 30679 0.37966024 0.19895469 21.752929 11.399264
    Unten links KachelX 36727 KachelY + 1 30680 0.37956437 0.19886071 21.747436 11.393879
    Unten rechts KachelX + 1 36728 KachelY + 1 30680 0.37966024 0.19886071 21.752929 11.393879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19895469-0.19886071) × R
    9.39799999999935e-05 × 6371000     		dl = 598.746579999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19895469-0.19886071) × R
    9.39799999999935e-05 × 6371000     		dr = 598.746579999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37956437-0.37966024) × cos(0.19895469) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980273713395502 × 6371000     		do = 598.739195394445m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37956437-0.37966024) × cos(0.19886071) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980292283719984 × 6371000     		du = 598.750537921523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19895469)-sin(0.19886071))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980273713395502-0.980292283719984)×R²
    abs(0.37966024-0.37956437)×1.85703244814928e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.85703244814928e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.85703244814928e-05×40589641000000     		ar = 358496.441467858m²