Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36727 / 27011
↖ ↑ ↗
← N 30.130875°
E 21.747436°		 ← 528.26 m → N 30.130875°
E 21.752929°		 →
↑
528.28 m
↓
↑
528.28 m
↓
N 30.126124°
E 21.747436°		 ← 528.28 m →
279 077 m²		 N 30.126124°
E 21.752929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36727 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560417175292969 y=0.412162780761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560417175292969 × 216)
    floor (0.560417175292969 × 65536)
    floor (36727.5)     		tx = 36727
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412162780761719 × 216)
    floor (0.412162780761719 × 65536)
    floor (27011.5)     		ty = 27011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36727 / 27011 ti = "16/36727/27011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36727/27011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36727 ÷ 216
    36727 ÷ 65536     		x = 0.560409545898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27011 ÷ 216
    27011 ÷ 65536     		y = 0.412155151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560409545898438 × 2 - 1) × π
    0.120819091796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37956437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412155151367188 × 2 - 1) × π
    0.175689697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.551945462225327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37956437} λ = 0.37956437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551945462225327))-π/2
    2×atan(1.73662827829686)-π/2
    2×1.04833965461445-π/2
    2.0966793092289-1.57079632675     		φ = 0.52588298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37956437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.747436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52588298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.130875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36727 KachelY 27011 0.37956437 0.52588298 21.747436 30.130875
    Oben rechts KachelX + 1 36728 KachelY 27011 0.37966024 0.52588298 21.752929 30.130875
    Unten links KachelX 36727 KachelY + 1 27012 0.37956437 0.52580006 21.747436 30.126124
    Unten rechts KachelX + 1 36728 KachelY + 1 27012 0.37966024 0.52580006 21.752929 30.126124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52588298-0.52580006) × R
    8.29199999999863e-05 × 6371000     		dl = 528.283319999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52588298-0.52580006) × R
    8.29199999999863e-05 × 6371000     		dr = 528.283319999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37956437-0.37966024) × cos(0.52588298) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.864881043295106 × 6371000     		do = 528.25876374948m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37956437-0.37966024) × cos(0.52580006) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.864922664244018 × 6371000     		du = 528.284185316051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52588298)-sin(0.52580006))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864881043295106-0.864922664244018)×R²
    abs(0.37966024-0.37956437)×4.16209489122465e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16209489122465e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16209489122465e-05×40589641000000     		ar = 279077.008587201m²