Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36726 / 27018
↖ ↑ ↗
← N 30.097613°
E 21.741944°		 ← 528.44 m → N 30.097613°
E 21.747436°		 →
↑
528.47 m
↓
↑
528.47 m
↓
N 30.092861°
E 21.741944°		 ← 528.46 m →
279 272 m²		 N 30.092861°
E 21.747436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27018 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560401916503906 y=0.412269592285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560401916503906 × 216)
    floor (0.560401916503906 × 65536)
    floor (36726.5)     		tx = 36726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412269592285156 × 216)
    floor (0.412269592285156 × 65536)
    floor (27018.5)     		ty = 27018
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36726 / 27018 ti = "16/36726/27018"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36726/27018.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36726 ÷ 216
    36726 ÷ 65536     		x = 0.560394287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27018 ÷ 216
    27018 ÷ 65536     		y = 0.412261962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560394287109375 × 2 - 1) × π
    0.12078857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37946850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412261962890625 × 2 - 1) × π
    0.17547607421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.551274345630646
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37946850} λ = 0.37946850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551274345630646))-π/2
    2×atan(1.73546318923953)-π/2
    2×1.04804938773033-π/2
    2.09609877546066-1.57079632675     		φ = 0.52530245
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37946850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.741944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52530245 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.097613°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36726 KachelY 27018 0.37946850 0.52530245 21.741944 30.097613
    Oben rechts KachelX + 1 36727 KachelY 27018 0.37956437 0.52530245 21.747436 30.097613
    Unten links KachelX 36726 KachelY + 1 27019 0.37946850 0.52521950 21.741944 30.092861
    Unten rechts KachelX + 1 36727 KachelY + 1 27019 0.37956437 0.52521950 21.747436 30.092861
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52530245-0.52521950) × R
    8.29500000000261e-05 × 6371000     		dl = 528.474450000166m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52530245-0.52521950) × R
    8.29500000000261e-05 × 6371000     		dr = 528.474450000166m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37946850-0.37956437) × cos(0.52530245) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.865172310173802 × 6371000     		do = 528.436665996793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37946850-0.37956437) × cos(0.52521950) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.865213904523537 × 6371000     		du = 528.462071316912m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52530245)-sin(0.52521950))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.865172310173802-0.865213904523537)×R²
    abs(0.37956437-0.37946850)×4.15943497352744e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.15943497352744e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.15943497352744e-05×40589641000000     		ar = 279271.989614056m²