Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36726 / 27010
↖ ↑ ↗
← N 30.135626°
E 21.741944°		 ← 528.23 m → N 30.135626°
E 21.747436°		 →
↑
528.28 m
↓
↑
528.28 m
↓
N 30.130875°
E 21.741944°		 ← 528.26 m →
279 064 m²		 N 30.130875°
E 21.747436°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36726 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560401916503906 y=0.412147521972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560401916503906 × 216)
    floor (0.560401916503906 × 65536)
    floor (36726.5)     		tx = 36726
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412147521972656 × 216)
    floor (0.412147521972656 × 65536)
    floor (27010.5)     		ty = 27010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36726 / 27010 ti = "16/36726/27010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36726/27010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36726 ÷ 216
    36726 ÷ 65536     		x = 0.560394287109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27010 ÷ 216
    27010 ÷ 65536     		y = 0.412139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560394287109375 × 2 - 1) × π
    0.12078857421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37946850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412139892578125 × 2 - 1) × π
    0.17572021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.552041336024567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37946850} λ = 0.37946850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.552041336024567))-π/2
    2×atan(1.73679478342938)-π/2
    2×1.04838111333246-π/2
    2.09676222666492-1.57079632675     		φ = 0.52596590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37946850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.741944°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52596590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.135626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36726 KachelY 27010 0.37946850 0.52596590 21.741944 30.135626
    Oben rechts KachelX + 1 36727 KachelY 27010 0.37956437 0.52596590 21.747436 30.135626
    Unten links KachelX 36726 KachelY + 1 27011 0.37946850 0.52588298 21.741944 30.130875
    Unten rechts KachelX + 1 36727 KachelY + 1 27011 0.37956437 0.52588298 21.747436 30.130875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52596590-0.52588298) × R
    8.29199999999863e-05 × 6371000     		dl = 528.283319999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52596590-0.52588298) × R
    8.29199999999863e-05 × 6371000     		dr = 528.283319999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37946850-0.37956437) × cos(0.52596590) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.864839416399508 × 6371000     		do = 528.233338550745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37946850-0.37956437) × cos(0.52588298) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.864881043295106 × 6371000     		du = 528.25876374948m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52596590)-sin(0.52588298))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864839416399508-0.864881043295106)×R²
    abs(0.37956437-0.37946850)×4.16268955977239e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.16268955977239e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.16268955977239e-05×40589641000000     		ar = 279063.577838471m²