Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36725 / 30676
↖ ↑ ↗
← N 11.415418°
E 21.736450°		 ← 598.77 m → N 11.415418°
E 21.741944°		 →
↑
598.75 m
↓
↑
598.75 m
↓
N 11.410033°
E 21.736450°		 ← 598.78 m →
358 513 m²		 N 11.410033°
E 21.741944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36725 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30676 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560386657714844 y=0.468086242675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560386657714844 × 216)
    floor (0.560386657714844 × 65536)
    floor (36725.5)     		tx = 36725
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.468086242675781 × 216)
    floor (0.468086242675781 × 65536)
    floor (30676.5)     		ty = 30676
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36725 / 30676 ti = "16/36725/30676"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36725/30676.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36725 ÷ 216
    36725 ÷ 65536     		x = 0.560379028320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30676 ÷ 216
    30676 ÷ 65536     		y = 0.46807861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560379028320312 × 2 - 1) × π
    0.120758056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37937262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46807861328125 × 2 - 1) × π
    0.0638427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.200567988010315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37937262} λ = 0.37937262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.200567988010315))-π/2
    2×atan(1.22209669733848)-π/2
    2×0.88501647855636-π/2
    1.77003295711272-1.57079632675     		φ = 0.19923663
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37937262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.736450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19923663 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.415418°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36725 KachelY 30676 0.37937262 0.19923663 21.736450 11.415418
    Oben rechts KachelX + 1 36726 KachelY 30676 0.37946850 0.19923663 21.741944 11.415418
    Unten links KachelX 36725 KachelY + 1 30677 0.37937262 0.19914265 21.736450 11.410033
    Unten rechts KachelX + 1 36726 KachelY + 1 30677 0.37946850 0.19914265 21.741944 11.410033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19923663-0.19914265) × R
    9.39799999999935e-05 × 6371000     		dl = 598.746579999959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19923663-0.19914265) × R
    9.39799999999935e-05 × 6371000     		dr = 598.746579999959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37937262-0.37946850) × cos(0.19923663) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.980217950474636 × 6371000     		do = 598.767585769952m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37937262-0.37946850) × cos(0.19914265) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.980236546772664 × 6371000     		du = 598.778945346125m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19923663)-sin(0.19914265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980217950474636-0.980236546772664)×R²
    abs(0.37946850-0.37937262)×1.85962980284726e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.85962980284726e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.85962980284726e-05×40589641000000     		ar = 358513.445212115m²