Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3672 / 2230
↖ ↑ ↗
← N 63.114637°
W 18.632813°		 ← 2 209.71 m → N 63.114637°
W 18.588867°		 →
↑
2 210.42 m
↓
↑
2 210.42 m
↓
N 63.094759°
W 18.632813°		 ← 2 211.22 m →
4 886 046 m²		 N 63.094759°
W 18.588867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2230 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44830322265625 y=0.27227783203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44830322265625 × 213)
    floor (0.44830322265625 × 8192)
    floor (3672.5)     		tx = 3672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.27227783203125 × 213)
    floor (0.27227783203125 × 8192)
    floor (2230.5)     		ty = 2230
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3672 / 2230 ti = "13/3672/2230"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3672/2230.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3672 ÷ 213
    3672 ÷ 8192     		x = 0.4482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2230 ÷ 213
    2230 ÷ 8192     		y = 0.272216796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4482421875 × 2 - 1) × π
    -0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272216796875 × 2 - 1) × π
    0.45556640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4312040750564
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32520393} λ = -0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4312040750564))-π/2
    2×atan(4.18373368973679)-π/2
    2×1.3361772798335-π/2
    2.67235455966701-1.57079632675     		φ = 1.10155823
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10155823 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.114637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3672 KachelY 2230 -0.32520393 1.10155823 -18.632813 63.114637
    Oben rechts KachelX + 1 3673 KachelY 2230 -0.32443694 1.10155823 -18.588867 63.114637
    Unten links KachelX 3672 KachelY + 1 2231 -0.32520393 1.10121128 -18.632813 63.094759
    Unten rechts KachelX + 1 3673 KachelY + 1 2231 -0.32443694 1.10121128 -18.588867 63.094759
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10155823-1.10121128) × R
    0.000346949999999957 × 6371000     		dl = 2210.41844999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10155823-1.10121128) × R
    0.000346949999999957 × 6371000     		dr = 2210.41844999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32520393--0.32443694) × cos(1.10155823) × R
    0.000766989999999967 × 0.452206865259001 × 6371000     		do = 2209.70581277995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32520393--0.32443694) × cos(1.10121128) × R
    0.000766989999999967 × 0.452516287280555 × 6371000     		du = 2211.21780141205m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10155823)-sin(1.10121128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452206865259001-0.452516287280555)×R²
    abs(-0.32443694--0.32520393)×0.000309422021554373×R²
    0.000766989999999967×0.000309422021554373×6371000²
    0.000766989999999967×0.000309422021554373×40589641000000     		ar = 4886045.61043911m²