Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3672 / 1956
↖ ↑ ↗
← N 68.073305°
W 18.632813°		 ← 1 824.71 m → N 68.073305°
W 18.588867°		 →
↑
1 825.36 m
↓
↑
1 825.36 m
↓
N 68.056889°
W 18.632813°		 ← 1 826.01 m →
3 331 937 m²		 N 68.056889°
W 18.588867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1956 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44830322265625 y=0.23883056640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44830322265625 × 213)
    floor (0.44830322265625 × 8192)
    floor (3672.5)     		tx = 3672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23883056640625 × 213)
    floor (0.23883056640625 × 8192)
    floor (1956.5)     		ty = 1956
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3672 / 1956 ti = "13/3672/1956"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3672/1956.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3672 ÷ 213
    3672 ÷ 8192     		x = 0.4482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1956 ÷ 213
    1956 ÷ 8192     		y = 0.23876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4482421875 × 2 - 1) × π
    -0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.23876953125 × 2 - 1) × π
    0.5224609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.64135944299072
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32520393} λ = -0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64135944299072))-π/2
    2×atan(5.16218243704978)-π/2
    2×1.37944981360882-π/2
    2.75889962721763-1.57079632675     		φ = 1.18810330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18810330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.073305°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3672 KachelY 1956 -0.32520393 1.18810330 -18.632813 68.073305
    Oben rechts KachelX + 1 3673 KachelY 1956 -0.32443694 1.18810330 -18.588867 68.073305
    Unten links KachelX 3672 KachelY + 1 1957 -0.32520393 1.18781679 -18.632813 68.056889
    Unten rechts KachelX + 1 3673 KachelY + 1 1957 -0.32443694 1.18781679 -18.588867 68.056889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18810330-1.18781679) × R
    0.000286510000000018 × 6371000     		dl = 1825.35521000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18810330-1.18781679) × R
    0.000286510000000018 × 6371000     		dr = 1825.35521000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32520393--0.32443694) × cos(1.18810330) × R
    0.000766989999999967 × 0.373420040107369 × 6371000     		do = 1824.71452033611m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32520393--0.32443694) × cos(1.18781679) × R
    0.000766989999999967 × 0.373685809322857 × 6371000     		du = 1826.01319982428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18810330)-sin(1.18781679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.373420040107369-0.373685809322857)×R²
    abs(-0.32443694--0.32520393)×0.000265769215488099×R²
    0.000766989999999967×0.000265769215488099×6371000²
    0.000766989999999967×0.000265769215488099×40589641000000     		ar = 3331937.45493593m²