Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3672 / 1954
↖ ↑ ↗
← N 68.106101°
W 18.632813°		 ← 1 822.12 m → N 68.106101°
W 18.588867°		 →
↑
1 822.74 m
↓
↑
1 822.74 m
↓
N 68.089709°
W 18.632813°		 ← 1 823.42 m →
3 322 438 m²		 N 68.089709°
W 18.588867°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44830322265625 y=0.23858642578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44830322265625 × 213)
    floor (0.44830322265625 × 8192)
    floor (3672.5)     		tx = 3672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23858642578125 × 213)
    floor (0.23858642578125 × 8192)
    floor (1954.5)     		ty = 1954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3672 / 1954 ti = "13/3672/1954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3672/1954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3672 ÷ 213
    3672 ÷ 8192     		x = 0.4482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1954 ÷ 213
    1954 ÷ 8192     		y = 0.238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4482421875 × 2 - 1) × π
    -0.103515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32520393
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.238525390625 × 2 - 1) × π
    0.52294921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64289342377856
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32520393} λ = -0.32520393}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64289342377856))-π/2
    2×atan(5.17010720239646)-π/2
    2×1.37973601949042-π/2
    2.75947203898084-1.57079632675     		φ = 1.18867571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32520393} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.632813°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.18867571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.106101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3672 KachelY 1954 -0.32520393 1.18867571 -18.632813 68.106101
    Oben rechts KachelX + 1 3673 KachelY 1954 -0.32443694 1.18867571 -18.588867 68.106101
    Unten links KachelX 3672 KachelY + 1 1955 -0.32520393 1.18838961 -18.632813 68.089709
    Unten rechts KachelX + 1 3673 KachelY + 1 1955 -0.32443694 1.18838961 -18.588867 68.089709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.18867571-1.18838961) × R
    0.000286100000000067 × 6371000     		dl = 1822.74310000043m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.18867571-1.18838961) × R
    0.000286100000000067 × 6371000     		dr = 1822.74310000043m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32520393--0.32443694) × cos(1.18867571) × R
    0.000766989999999967 × 0.372888975742732 × 6371000     		do = 1822.11947788175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32520393--0.32443694) × cos(1.18838961) × R
    0.000766989999999967 × 0.373154425792441 × 6371000     		du = 1823.41659776849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.18867571)-sin(1.18838961))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.372888975742732-0.373154425792441)×R²
    abs(-0.32443694--0.32520393)×0.000265450049709348×R²
    0.000766989999999967×0.000265450049709348×6371000²
    0.000766989999999967×0.000265450049709348×40589641000000     		ar = 3322437.88650896m²