Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36718 / 68730
↖ ↑ ↗
← S  8.738507°
W 79.151001°		 ← 301.82 m → S  8.738507°
W 79.148255°		 →
↑
301.86 m
↓
↑
301.86 m
↓
S  8.741222°
W 79.151001°		 ← 301.82 m →
91 106 m²		 S  8.741222°
W 79.148255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36718 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68730 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280139923095703 y=0.524372100830078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280139923095703 × 217)
    floor (0.280139923095703 × 131072)
    floor (36718.5)     		tx = 36718
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524372100830078 × 217)
    floor (0.524372100830078 × 131072)
    floor (68730.5)     		ty = 68730
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36718 / 68730 ti = "17/36718/68730"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36718/68730.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36718 ÷ 217
    36718 ÷ 131072     		x = 0.280136108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68730 ÷ 217
    68730 ÷ 131072     		y = 0.524368286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.280136108398438 × 2 - 1) × π
    -0.439727783203125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38144557
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524368286132812 × 2 - 1) × π
    -0.048736572265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.153110457386459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38144557} λ = -1.38144557}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.153110457386459))-π/2
    2×atan(0.858034940279836)-π/2
    2×0.709140305190404-π/2
    1.41828061038081-1.57079632675     		φ = -0.15251572
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38144557} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.151001°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15251572 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.738507°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36718 KachelY 68730 -1.38144557 -0.15251572 -79.151001 -8.738507
    Oben rechts KachelX + 1 36719 KachelY 68730 -1.38139764 -0.15251572 -79.148255 -8.738507
    Unten links KachelX 36718 KachelY + 1 68731 -1.38144557 -0.15256310 -79.151001 -8.741222
    Unten rechts KachelX + 1 36719 KachelY + 1 68731 -1.38139764 -0.15256310 -79.148255 -8.741222
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15251572--0.15256310) × R
    4.73800000000135e-05 × 6371000     		dl = 301.857980000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15251572--0.15256310) × R
    4.73800000000135e-05 × 6371000     		dr = 301.857980000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38144557--1.38139764) × cos(-0.15251572) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.988392004945121 × 6371000     		do = 301.817389064599m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38144557--1.38139764) × cos(-0.15256310) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.98838480562315 × 6371000     		du = 301.815190665027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15251572)-sin(-0.15256310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988392004945121-0.98838480562315)×R²
    abs(-1.38139764--1.38144557)×7.1993219715738e-06×R²
    4.79299999998073e-05×7.1993219715738e-06×6371000²
    4.79299999998073e-05×7.1993219715738e-06×40589641000000     		ar = 91105.6556067665m²