Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36715 / 68719
↖ ↑ ↗
← S  8.708644°
W 79.159240°		 ← 301.84 m → S  8.708644°
W 79.156494°		 →
↑
301.86 m
↓
↑
301.86 m
↓
S  8.711359°
W 79.159240°		 ← 301.84 m →
91 113 m²		 S  8.711359°
W 79.156494°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36715 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68719 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280117034912109 y=0.524288177490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280117034912109 × 217)
    floor (0.280117034912109 × 131072)
    floor (36715.5)     		tx = 36715
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524288177490234 × 217)
    floor (0.524288177490234 × 131072)
    floor (68719.5)     		ty = 68719
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36715 / 68719 ti = "17/36715/68719"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36715/68719.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36715 ÷ 217
    36715 ÷ 131072     		x = 0.280113220214844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68719 ÷ 217
    68719 ÷ 131072     		y = 0.524284362792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.280113220214844 × 2 - 1) × π
    -0.439773559570312 × 3.1415926535     		Λ = -1.38158938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524284362792969 × 2 - 1) × π
    -0.0485687255859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.152583151490639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38158938} λ = -1.38158938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.152583151490639))-π/2
    2×atan(0.85848750647259)-π/2
    2×0.709400908082986-π/2
    1.41880181616597-1.57079632675     		φ = -0.15199451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38158938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.159240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15199451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.708644°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36715 KachelY 68719 -1.38158938 -0.15199451 -79.159240 -8.708644
    Oben rechts KachelX + 1 36716 KachelY 68719 -1.38154145 -0.15199451 -79.156494 -8.708644
    Unten links KachelX 36715 KachelY + 1 68720 -1.38158938 -0.15204189 -79.159240 -8.711359
    Unten rechts KachelX + 1 36716 KachelY + 1 68720 -1.38154145 -0.15204189 -79.156494 -8.711359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15199451--0.15204189) × R
    4.73800000000135e-05 × 6371000     		dl = 301.857980000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15199451--0.15204189) × R
    4.73800000000135e-05 × 6371000     		dr = 301.857980000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38158938--1.38154145) × cos(-0.15199451) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.988471055584359 × 6371000     		do = 301.841528129667m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38158938--1.38154145) × cos(-0.15204189) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.988463880671546 × 6371000     		du = 301.839337183726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15199451)-sin(-0.15204189))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988471055584359-0.988463880671546)×R²
    abs(-1.38154145--1.38158938)×7.17491281254645e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.17491281254645e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.17491281254645e-06×40589641000000     		ar = 91112.9433011559m²