Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36712 / 38296
↖ ↑ ↗
← S 29.036961°
E 21.665039°		 ← 534.07 m → S 29.036961°
E 21.670532°		 →
↑
534.02 m
↓
↑
534.02 m
↓
S 29.041763°
E 21.665039°		 ← 534.05 m →
285 197 m²		 S 29.041763°
E 21.670532°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38296 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560188293457031 y=0.584358215332031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560188293457031 × 216)
    floor (0.560188293457031 × 65536)
    floor (36712.5)     		tx = 36712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584358215332031 × 216)
    floor (0.584358215332031 × 65536)
    floor (38296.5)     		ty = 38296
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36712 / 38296 ti = "16/36712/38296"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36712/38296.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36712 ÷ 216
    36712 ÷ 65536     		x = 0.5601806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38296 ÷ 216
    38296 ÷ 65536     		y = 0.5843505859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5601806640625 × 2 - 1) × π
    0.120361328125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37812626
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5843505859375 × 2 - 1) × π
    -0.168701171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.529990362199341
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37812626} λ = 0.37812626}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.529990362199341))-π/2
    2×atan(0.588610642563057)-π/2
    2×0.532002879359386-π/2
    1.06400575871877-1.57079632675     		φ = -0.50679057
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37812626} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.665039°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50679057 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.036961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36712 KachelY 38296 0.37812626 -0.50679057 21.665039 -29.036961
    Oben rechts KachelX + 1 36713 KachelY 38296 0.37822214 -0.50679057 21.670532 -29.036961
    Unten links KachelX 36712 KachelY + 1 38297 0.37812626 -0.50687439 21.665039 -29.041763
    Unten rechts KachelX + 1 36713 KachelY + 1 38297 0.37822214 -0.50687439 21.670532 -29.041763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50679057--0.50687439) × R
    8.38199999999567e-05 × 6371000     		dl = 534.017219999724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50679057--0.50687439) × R
    8.38199999999567e-05 × 6371000     		dr = 534.017219999724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37812626-0.37822214) × cos(-0.50679057) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.874306780834714 × 6371000     		do = 534.07159104688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37812626-0.37822214) × cos(-0.50687439) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.874266093737778 × 6371000     		du = 534.046737273499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50679057)-sin(-0.50687439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874306780834714-0.874266093737778)×R²
    abs(0.37822214-0.37812626)×4.06870969366091e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.06870969366091e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.06870969366091e-05×40589641000000     		ar = 285196.790327143m²