Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36711 / 68709
↖ ↑ ↗
← S  8.681494°
W 79.170227°		 ← 301.93 m → S  8.681494°
W 79.167480°		 →
↑
301.92 m
↓
↑
301.92 m
↓
S  8.684209°
W 79.170227°		 ← 301.92 m →
91 158 m²		 S  8.684209°
W 79.167480°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280086517333984 y=0.524211883544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280086517333984 × 217)
    floor (0.280086517333984 × 131072)
    floor (36711.5)     		tx = 36711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524211883544922 × 217)
    floor (0.524211883544922 × 131072)
    floor (68709.5)     		ty = 68709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36711 / 68709 ti = "17/36711/68709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36711/68709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36711 ÷ 217
    36711 ÷ 131072     		x = 0.280082702636719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68709 ÷ 217
    68709 ÷ 131072     		y = 0.524208068847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.280082702636719 × 2 - 1) × π
    -0.439834594726562 × 3.1415926535     		Λ = -1.38178113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524208068847656 × 2 - 1) × π
    -0.0484161376953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.152103782494438
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38178113} λ = -1.38178113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.152103782494438))-π/2
    2×atan(0.858899137420493)-π/2
    2×0.709637837861165-π/2
    1.41927567572233-1.57079632675     		φ = -0.15152065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38178113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.170227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15152065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.681494°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36711 KachelY 68709 -1.38178113 -0.15152065 -79.170227 -8.681494
    Oben rechts KachelX + 1 36712 KachelY 68709 -1.38173319 -0.15152065 -79.167480 -8.681494
    Unten links KachelX 36711 KachelY + 1 68710 -1.38178113 -0.15156804 -79.170227 -8.684209
    Unten rechts KachelX + 1 36712 KachelY + 1 68710 -1.38173319 -0.15156804 -79.167480 -8.684209
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15152065--0.15156804) × R
    4.73899999999805e-05 × 6371000     		dl = 301.921689999876m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15152065--0.15156804) × R
    4.73899999999805e-05 × 6371000     		dr = 301.921689999876m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38178113--1.38173319) × cos(-0.15152065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.988542691722231 × 6371000     		do = 301.926383140656m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38178113--1.38173319) × cos(-0.15156804) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.988535537492904 × 6371000     		du = 301.92419805487m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15152065)-sin(-0.15156804))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988542691722231-0.988535537492904)×R²
    abs(-1.38173319--1.38178113)×7.1542293272886e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.1542293272886e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.1542293272886e-06×40589641000000     		ar = 91157.7940080435m²