Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36711 / 39177
↖ ↑ ↗
← S 33.178939°
E 21.659546°		 ← 511.21 m → S 33.178939°
E 21.665039°		 →
↑
511.21 m
↓
↑
511.21 m
↓
S 33.183537°
E 21.659546°		 ← 511.18 m →
261 327 m²		 S 33.183537°
E 21.665039°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560173034667969 y=0.597801208496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560173034667969 × 216)
    floor (0.560173034667969 × 65536)
    floor (36711.5)     		tx = 36711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.597801208496094 × 216)
    floor (0.597801208496094 × 65536)
    floor (39177.5)     		ty = 39177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36711 / 39177 ti = "16/36711/39177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36711/39177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36711 ÷ 216
    36711 ÷ 65536     		x = 0.560165405273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39177 ÷ 216
    39177 ÷ 65536     		y = 0.597793579101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560165405273438 × 2 - 1) × π
    0.120330810546875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37803039
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.597793579101562 × 2 - 1) × π
    -0.195587158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.61445517932988
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37803039} λ = 0.37803039}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.61445517932988))-π/2
    2×atan(0.540935527897868)-π/2
    2×0.495857297196622-π/2
    0.991714594393244-1.57079632675     		φ = -0.57908173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37803039} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.659546°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.57908173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.178939°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36711 KachelY 39177 0.37803039 -0.57908173 21.659546 -33.178939
    Oben rechts KachelX + 1 36712 KachelY 39177 0.37812626 -0.57908173 21.665039 -33.178939
    Unten links KachelX 36711 KachelY + 1 39178 0.37803039 -0.57916197 21.659546 -33.183537
    Unten rechts KachelX + 1 36712 KachelY + 1 39178 0.37812626 -0.57916197 21.665039 -33.183537
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.57908173--0.57916197) × R
    8.02400000000647e-05 × 6371000     		dl = 511.209040000412m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.57908173--0.57916197) × R
    8.02400000000647e-05 × 6371000     		dr = 511.209040000412m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37803039-0.37812626) × cos(-0.57908173) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.836965531123996 × 6371000     		do = 511.20831032208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37803039-0.37812626) × cos(-0.57916197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.83692161663973 × 6371000     		du = 511.181487892164m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.57908173)-sin(-0.57916197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836965531123996-0.83692161663973)×R²
    abs(0.37812626-0.37803039)×4.39144842654393e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39144842654393e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39144842654393e-05×40589641000000     		ar = 261327.453765554m²