Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36709 / 68741
↖ ↑ ↗
← S  8.768367°
W 79.175720°		 ← 301.86 m → S  8.768367°
W 79.172974°		 →
↑
301.86 m
↓
↑
301.86 m
↓
S  8.771082°
W 79.175720°		 ← 301.85 m →
91 117 m²		 S  8.771082°
W 79.172974°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36709 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280071258544922 y=0.524456024169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280071258544922 × 217)
    floor (0.280071258544922 × 131072)
    floor (36709.5)     		tx = 36709
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524456024169922 × 217)
    floor (0.524456024169922 × 131072)
    floor (68741.5)     		ty = 68741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36709 / 68741 ti = "17/36709/68741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36709/68741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36709 ÷ 217
    36709 ÷ 131072     		x = 0.280067443847656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68741 ÷ 217
    68741 ÷ 131072     		y = 0.524452209472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.280067443847656 × 2 - 1) × π
    -0.439865112304688 × 3.1415926535     		Λ = -1.38187701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524452209472656 × 2 - 1) × π
    -0.0489044189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.15363776328228
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38187701} λ = -1.38187701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.15363776328228))-π/2
    2×atan(0.857582612664996)-π/2
    2×0.708879723174147-π/2
    1.41775944634829-1.57079632675     		φ = -0.15303688
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38187701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.175720°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15303688 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.768367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36709 KachelY 68741 -1.38187701 -0.15303688 -79.175720 -8.768367
    Oben rechts KachelX + 1 36710 KachelY 68741 -1.38182907 -0.15303688 -79.172974 -8.768367
    Unten links KachelX 36709 KachelY + 1 68742 -1.38187701 -0.15308426 -79.175720 -8.771082
    Unten rechts KachelX + 1 36710 KachelY + 1 68742 -1.38182907 -0.15308426 -79.172974 -8.771082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15303688--0.15308426) × R
    4.73800000000135e-05 × 6371000     		dl = 301.857980000086m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15303688--0.15308426) × R
    4.73800000000135e-05 × 6371000     		dr = 301.857980000086m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38187701--1.38182907) × cos(-0.15303688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.988312693421465 × 6371000     		do = 301.856135739446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38187701--1.38182907) × cos(-0.15308426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.988305469694631 × 6371000     		du = 301.853929427332m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15303688)-sin(-0.15308426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988312693421465-0.988305469694631)×R²
    abs(-1.38182907--1.38187701)×7.22372683370498e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.22372683370498e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.22372683370498e-06×40589641000000     		ar = 91117.3504055189m²