Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36707 / 68706
↖ ↑ ↗
← S  8.673349°
W 79.181213°		 ← 301.93 m → S  8.673349°
W 79.178467°		 →
↑
301.86 m
↓
↑
301.86 m
↓
S  8.676063°
W 79.181213°		 ← 301.93 m →
91 141 m²		 S  8.676063°
W 79.178467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36707 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 68706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.280055999755859 y=0.524188995361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.280055999755859 × 217)
    floor (0.280055999755859 × 131072)
    floor (36707.5)     		tx = 36707
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.524188995361328 × 217)
    floor (0.524188995361328 × 131072)
    floor (68706.5)     		ty = 68706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36707 / 68706 ti = "17/36707/68706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36707/68706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36707 ÷ 217
    36707 ÷ 131072     		x = 0.280052185058594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 68706 ÷ 217
    68706 ÷ 131072     		y = 0.524185180664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.280052185058594 × 2 - 1) × π
    -0.439895629882812 × 3.1415926535     		Λ = -1.38197288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.524185180664062 × 2 - 1) × π
    -0.048370361328125 × 3.1415926535     		Φ = -0.151959971795578
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38197288} λ = -1.38197288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.151959971795578))-π/2
    2×atan(0.85902266518779)-π/2
    2×0.709708920140078-π/2
    1.41941784028016-1.57079632675     		φ = -0.15137849
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38197288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.181213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.15137849 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -8.673349°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36707 KachelY 68706 -1.38197288 -0.15137849 -79.181213 -8.673349
    Oben rechts KachelX + 1 36708 KachelY 68706 -1.38192494 -0.15137849 -79.178467 -8.673349
    Unten links KachelX 36707 KachelY + 1 68707 -1.38197288 -0.15142587 -79.181213 -8.676063
    Unten rechts KachelX + 1 36708 KachelY + 1 68707 -1.38192494 -0.15142587 -79.178467 -8.676063
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.15137849--0.15142587) × R
    4.73799999999858e-05 × 6371000     		dl = 301.857979999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.15137849--0.15142587) × R
    4.73799999999858e-05 × 6371000     		dr = 301.857979999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38197288--1.38192494) × cos(-0.15137849) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.988564139581652 × 6371000     		do = 301.932933868991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38197288--1.38192494) × cos(-0.15142587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.988556993520626 × 6371000     		du = 301.930751278014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.15137849)-sin(-0.15142587))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.988564139581652-0.988556993520626)×R²
    abs(-1.38192494--1.38197288)×7.14606102580895e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.14606102580895e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.14606102580895e-06×40589641000000     		ar = 91140.5361139334m²