Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 3670 / 2585
↖ ↑ ↗
← N 76.715175°
W 99.360352°		 ← 561.43 m → N 76.715175°
W 99.338379°		 →
↑
561.54 m
↓
↑
561.54 m
↓
N 76.710125°
W 99.360352°		 ← 561.64 m →
315 325 m²		 N 76.710125°
W 99.338379°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.224029541015625 y=0.157806396484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.224029541015625 × 214)
    floor (0.224029541015625 × 16384)
    floor (3670.5)     		tx = 3670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.157806396484375 × 214)
    floor (0.157806396484375 × 16384)
    floor (2585.5)     		ty = 2585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 3670 / 2585 ti = "14/3670/2585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/3670/2585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3670 ÷ 214
    3670 ÷ 16384     		x = 0.2239990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2585 ÷ 214
    2585 ÷ 16384     		y = 0.15777587890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2239990234375 × 2 - 1) × π
    -0.552001953125 × 3.1415926535     		Λ = -1.73416528
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.15777587890625 × 2 - 1) × π
    0.6844482421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.15025756935724
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.73416528} λ = -1.73416528}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.15025756935724))-π/2
    2×atan(8.58706987842992)-π/2
    2×1.45486435919331-π/2
    2.90972871838661-1.57079632675     		φ = 1.33893239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.73416528} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -99.360352°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33893239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.715175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3670 KachelY 2585 -1.73416528 1.33893239 -99.360352 76.715175
    Oben rechts KachelX + 1 3671 KachelY 2585 -1.73378179 1.33893239 -99.338379 76.715175
    Unten links KachelX 3670 KachelY + 1 2586 -1.73416528 1.33884425 -99.360352 76.710125
    Unten rechts KachelX + 1 3671 KachelY + 1 2586 -1.73378179 1.33884425 -99.338379 76.710125
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33893239-1.33884425) × R
    8.81400000001253e-05 × 6371000     		dl = 561.539940000799m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33893239-1.33884425) × R
    8.81400000001253e-05 × 6371000     		dr = 561.539940000799m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.73416528--1.73378179) × cos(1.33893239) × R
    0.000383489999999931 × 0.229791979077391 × 6371000     		do = 561.431161905152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.73416528--1.73378179) × cos(1.33884425) × R
    0.000383489999999931 × 0.229877759537859 × 6371000     		du = 561.64074199486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33893239)-sin(1.33884425))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.229791979077391-0.229877759537859)×R²
    abs(-1.73378179--1.73416528)×8.57804604679213e-05×R²
    0.000383489999999931×8.57804604679213e-05×6371000²
    0.000383489999999931×8.57804604679213e-05×40589641000000     		ar = 315324.864970607m²