Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3670 / 1934
↖ ↑ ↗
← N 68.431513°
W 18.720703°		 ← 1 796.34 m → N 68.431513°
W 18.676758°		 →
↑
1 797 m
↓
↑
1 797 m
↓
N 68.415352°
W 18.720703°		 ← 1 797.62 m →
3 229 181 m²		 N 68.415352°
W 18.676758°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44805908203125 y=0.23614501953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44805908203125 × 213)
    floor (0.44805908203125 × 8192)
    floor (3670.5)     		tx = 3670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.23614501953125 × 213)
    floor (0.23614501953125 × 8192)
    floor (1934.5)     		ty = 1934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3670 / 1934 ti = "13/3670/1934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3670/1934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3670 ÷ 213
    3670 ÷ 8192     		x = 0.447998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1934 ÷ 213
    1934 ÷ 8192     		y = 0.236083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.447998046875 × 2 - 1) × π
    -0.10400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32673791
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.236083984375 × 2 - 1) × π
    0.52783203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.65823323165698
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32673791} λ = -0.32673791}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.65823323165698))-π/2
    2×atan(5.25002706410037)-π/2
    2×1.38257576902503-π/2
    2.76515153805006-1.57079632675     		φ = 1.19435521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32673791} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.720703°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19435521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.431513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3670 KachelY 1934 -0.32673791 1.19435521 -18.720703 68.431513
    Oben rechts KachelX + 1 3671 KachelY 1934 -0.32597092 1.19435521 -18.676758 68.431513
    Unten links KachelX 3670 KachelY + 1 1935 -0.32673791 1.19407315 -18.720703 68.415352
    Unten rechts KachelX + 1 3671 KachelY + 1 1935 -0.32597092 1.19407315 -18.676758 68.415352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19435521-1.19407315) × R
    0.000282059999999973 × 6371000     		dl = 1797.00425999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19435521-1.19407315) × R
    0.000282059999999973 × 6371000     		dr = 1797.00425999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32673791--0.32597092) × cos(1.19435521) × R
    0.000766990000000023 × 0.367613118443052 × 6371000     		do = 1796.339036588m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32673791--0.32597092) × cos(1.19407315) × R
    0.000766990000000023 × 0.367875413640697 × 6371000     		du = 1797.6207403113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19435521)-sin(1.19407315))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367613118443052-0.367875413640697)×R²
    abs(-0.32597092--0.32673791)×0.000262295197645368×R²
    0.000766990000000023×0.000262295197645368×6371000²
    0.000766990000000023×0.000262295197645368×40589641000000     		ar = 3229180.53608845m²