Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36698 / 38337
↖ ↑ ↗
← S 29.233684°
E 21.588135°		 ← 532.99 m → S 29.233684°
E 21.593628°		 →
↑
533 m
↓
↑
533 m
↓
S 29.238477°
E 21.588135°		 ← 532.97 m →
284 078 m²		 S 29.238477°
E 21.593628°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36698 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38337 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559974670410156 y=0.584983825683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559974670410156 × 216)
    floor (0.559974670410156 × 65536)
    floor (36698.5)     		tx = 36698
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584983825683594 × 216)
    floor (0.584983825683594 × 65536)
    floor (38337.5)     		ty = 38337
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36698 / 38337 ti = "16/36698/38337"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36698/38337.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36698 ÷ 216
    36698 ÷ 65536     		x = 0.559967041015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38337 ÷ 216
    38337 ÷ 65536     		y = 0.584976196289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559967041015625 × 2 - 1) × π
    0.11993408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37678403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584976196289062 × 2 - 1) × π
    -0.169952392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.533921187968185
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37678403} λ = 0.37678403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533921187968185))-π/2
    2×atan(0.586301458155583)-π/2
    2×0.530286147137639-π/2
    1.06057229427528-1.57079632675     		φ = -0.51022403
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37678403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.588135°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51022403 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.233684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36698 KachelY 38337 0.37678403 -0.51022403 21.588135 -29.233684
    Oben rechts KachelX + 1 36699 KachelY 38337 0.37687990 -0.51022403 21.593628 -29.233684
    Unten links KachelX 36698 KachelY + 1 38338 0.37678403 -0.51030769 21.588135 -29.238477
    Unten rechts KachelX + 1 36699 KachelY + 1 38338 0.37687990 -0.51030769 21.593628 -29.238477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51022403--0.51030769) × R
    8.36599999999299e-05 × 6371000     		dl = 532.997859999553m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51022403--0.51030769) × R
    8.36599999999299e-05 × 6371000     		dr = 532.997859999553m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37678403-0.37687990) × cos(-0.51022403) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872635119396768 × 6371000     		do = 532.994858600024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37678403-0.37687990) × cos(-0.51030769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872594259078299 × 6371000     		du = 532.969901617225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51022403)-sin(-0.51030769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872635119396768-0.872594259078299)×R²
    abs(0.37687990-0.37678403)×4.08603184689493e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.08603184689493e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.08603184689493e-05×40589641000000     		ar = 284078.468180983m²