Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36697 / 39193
↖ ↑ ↗
← S 33.252470°
E 21.582642°		 ← 510.78 m → S 33.252470°
E 21.588135°		 →
↑
510.83 m
↓
↑
510.83 m
↓
S 33.257064°
E 21.582642°		 ← 510.75 m →
260 913 m²		 S 33.257064°
E 21.588135°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36697 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559959411621094 y=0.598045349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559959411621094 × 216)
    floor (0.559959411621094 × 65536)
    floor (36697.5)     		tx = 36697
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598045349121094 × 216)
    floor (0.598045349121094 × 65536)
    floor (39193.5)     		ty = 39193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36697 / 39193 ti = "16/36697/39193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36697/39193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36697 ÷ 216
    36697 ÷ 65536     		x = 0.559951782226562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39193 ÷ 216
    39193 ÷ 65536     		y = 0.598037719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559951782226562 × 2 - 1) × π
    0.119903564453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37668816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598037719726562 × 2 - 1) × π
    -0.196075439453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.615989160117722
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37668816} λ = 0.37668816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.615989160117722))-π/2
    2×atan(0.540106379302208)-π/2
    2×0.495215622225669-π/2
    0.990431244451338-1.57079632675     		φ = -0.58036508
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37668816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.582642°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58036508 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.252470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36697 KachelY 39193 0.37668816 -0.58036508 21.582642 -33.252470
    Oben rechts KachelX + 1 36698 KachelY 39193 0.37678403 -0.58036508 21.588135 -33.252470
    Unten links KachelX 36697 KachelY + 1 39194 0.37668816 -0.58044526 21.582642 -33.257064
    Unten rechts KachelX + 1 36698 KachelY + 1 39194 0.37678403 -0.58044526 21.588135 -33.257064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58036508--0.58044526) × R
    8.01799999999853e-05 × 6371000     		dl = 510.826779999906m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58036508--0.58044526) × R
    8.01799999999853e-05 × 6371000     		dr = 510.826779999906m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37668816-0.37678403) × cos(-0.58036508) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.836262521597492 × 6371000     		do = 510.778920701098m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37668816-0.37678403) × cos(-0.58044526) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.83621855386809 × 6371000     		du = 510.752065749704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58036508)-sin(-0.58044526))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.836262521597492-0.83621855386809)×R²
    abs(0.37678403-0.37668816)×4.39677294022944e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.39677294022944e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.39677294022944e-05×40589641000000     		ar = 260912.692379521m²