Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36696 / 38334
↖ ↑ ↗
← S 29.219302°
E 21.577148°		 ← 533.13 m → S 29.219302°
E 21.582642°		 →
↑
533.06 m
↓
↑
533.06 m
↓
S 29.224096°
E 21.577148°		 ← 533.10 m →
284 182 m²		 S 29.224096°
E 21.582642°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36696 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38334 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559944152832031 y=0.584938049316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559944152832031 × 216)
    floor (0.559944152832031 × 65536)
    floor (36696.5)     		tx = 36696
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584938049316406 × 216)
    floor (0.584938049316406 × 65536)
    floor (38334.5)     		ty = 38334
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36696 / 38334 ti = "16/36696/38334"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36696/38334.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36696 ÷ 216
    36696 ÷ 65536     		x = 0.5599365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38334 ÷ 216
    38334 ÷ 65536     		y = 0.584930419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5599365234375 × 2 - 1) × π
    0.119873046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37659228
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584930419921875 × 2 - 1) × π
    -0.16986083984375 × 3.1415926535     		Φ = -0.533633566570465
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37659228} λ = 0.37659228}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533633566570465))-π/2
    2×atan(0.586470115253995)-π/2
    2×0.530411650216795-π/2
    1.06082330043359-1.57079632675     		φ = -0.50997303
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37659228} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.577148°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50997303 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.219302°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36696 KachelY 38334 0.37659228 -0.50997303 21.577148 -29.219302
    Oben rechts KachelX + 1 36697 KachelY 38334 0.37668816 -0.50997303 21.582642 -29.219302
    Unten links KachelX 36696 KachelY + 1 38335 0.37659228 -0.51005670 21.577148 -29.224096
    Unten rechts KachelX + 1 36697 KachelY + 1 38335 0.37668816 -0.51005670 21.582642 -29.224096
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50997303--0.51005670) × R
    8.36699999999801e-05 × 6371000     		dl = 533.061569999874m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50997303--0.51005670) × R
    8.36699999999801e-05 × 6371000     		dr = 533.061569999874m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37659228-0.37668816) × cos(-0.50997303) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.872757673468689 × 6371000     		do = 533.125316519665m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37659228-0.37668816) × cos(-0.51005670) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.872716826592979 × 6371000     		du = 533.100365145184m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50997303)-sin(-0.51005670))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872757673468689-0.872716826592979)×R²
    abs(0.37668816-0.37659228)×4.08468757102654e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.08468757102654e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.08468757102654e-05×40589641000000     		ar = 284181.968086955m²