Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36694 / 38338
↖ ↑ ↗
← S 29.238477°
E 21.566162°		 ← 532.97 m → S 29.238477°
E 21.571655°		 →
↑
533 m
↓
↑
533 m
↓
S 29.243270°
E 21.566162°		 ← 532.94 m →
284 065 m²		 S 29.243270°
E 21.571655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38338 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559913635253906 y=0.584999084472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559913635253906 × 216)
    floor (0.559913635253906 × 65536)
    floor (36694.5)     		tx = 36694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584999084472656 × 216)
    floor (0.584999084472656 × 65536)
    floor (38338.5)     		ty = 38338
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36694 / 38338 ti = "16/36694/38338"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36694/38338.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36694 ÷ 216
    36694 ÷ 65536     		x = 0.559906005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38338 ÷ 216
    38338 ÷ 65536     		y = 0.584991455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559906005859375 × 2 - 1) × π
    0.11981201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37640054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584991455078125 × 2 - 1) × π
    -0.16998291015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.534017061767426
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37640054} λ = 0.37640054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.534017061767426))-π/2
    2×atan(0.586245249901782)-π/2
    2×0.530244316694927-π/2
    1.06048863338985-1.57079632675     		φ = -0.51030769
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37640054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.566162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51030769 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.238477°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36694 KachelY 38338 0.37640054 -0.51030769 21.566162 -29.238477
    Oben rechts KachelX + 1 36695 KachelY 38338 0.37649641 -0.51030769 21.571655 -29.238477
    Unten links KachelX 36694 KachelY + 1 38339 0.37640054 -0.51039135 21.566162 -29.243270
    Unten rechts KachelX + 1 36695 KachelY + 1 38339 0.37649641 -0.51039135 21.571655 -29.243270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51030769--0.51039135) × R
    8.36600000000409e-05 × 6371000     		dl = 532.997860000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51030769--0.51039135) × R
    8.36600000000409e-05 × 6371000     		dr = 532.997860000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37640054-0.37649641) × cos(-0.51030769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872594259078299 × 6371000     		do = 532.969901617225m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37640054-0.37649641) × cos(-0.51039135) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872553392652546 × 6371000     		du = 532.944940904171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51030769)-sin(-0.51039135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872594259078299-0.872553392652546)×R²
    abs(0.37649641-0.37640054)×4.08664257525171e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.08664257525171e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.08664257525171e-05×40589641000000     		ar = 284065.165168875m²