Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36694 / 27830
↖ ↑ ↗
← N 26.165299°
E 21.566162°		 ← 548.20 m → N 26.165299°
E 21.571655°		 →
↑
548.29 m
↓
↑
548.29 m
↓
N 26.160368°
E 21.566162°		 ← 548.22 m →
300 577 m²		 N 26.160368°
E 21.571655°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36694 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27830 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559913635253906 y=0.424659729003906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559913635253906 × 216)
    floor (0.559913635253906 × 65536)
    floor (36694.5)     		tx = 36694
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.424659729003906 × 216)
    floor (0.424659729003906 × 65536)
    floor (27830.5)     		ty = 27830
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36694 / 27830 ti = "16/36694/27830"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36694/27830.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36694 ÷ 216
    36694 ÷ 65536     		x = 0.559906005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27830 ÷ 216
    27830 ÷ 65536     		y = 0.424652099609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559906005859375 × 2 - 1) × π
    0.11981201171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37640054
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.424652099609375 × 2 - 1) × π
    0.15069580078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.473424820647675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37640054} λ = 0.37640054}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.473424820647675))-π/2
    2×atan(1.605483280571)-π/2
    2×1.01373347114595-π/2
    2.0274669422919-1.57079632675     		φ = 0.45667062
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37640054} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.566162°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.45667062 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.165299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36694 KachelY 27830 0.37640054 0.45667062 21.566162 26.165299
    Oben rechts KachelX + 1 36695 KachelY 27830 0.37649641 0.45667062 21.571655 26.165299
    Unten links KachelX 36694 KachelY + 1 27831 0.37640054 0.45658456 21.566162 26.160368
    Unten rechts KachelX + 1 36695 KachelY + 1 27831 0.37649641 0.45658456 21.571655 26.160368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.45667062-0.45658456) × R
    8.60600000000544e-05 × 6371000     		dl = 548.288260000347m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.45667062-0.45658456) × R
    8.60600000000544e-05 × 6371000     		dr = 548.288260000347m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37640054-0.37649641) × cos(0.45667062) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897525600479349 × 6371000     		do = 548.197660034681m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37640054-0.37649641) × cos(0.45658456) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.897563546375692 × 6371000     		du = 548.220836924089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.45667062)-sin(0.45658456))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.897525600479349-0.897563546375692)×R²
    abs(0.37649641-0.37640054)×3.79458963426504e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.79458963426504e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.79458963426504e-05×40589641000000     		ar = 300576.695150498m²