Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3669 / 2812
↖ ↑ ↗
← N 49.037868°
W 18.764649°		 ← 3 203.39 m → N 49.037868°
W 18.720703°		 →
↑
3 204.29 m
↓
↑
3 204.29 m
↓
N 49.009051°
W 18.764649°		 ← 3 205.25 m →
10 267 578 m²		 N 49.009051°
W 18.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2812 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44793701171875 y=0.34332275390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44793701171875 × 213)
    floor (0.44793701171875 × 8192)
    floor (3669.5)     		tx = 3669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.34332275390625 × 213)
    floor (0.34332275390625 × 8192)
    floor (2812.5)     		ty = 2812
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3669 / 2812 ti = "13/3669/2812"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3669/2812.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3669 ÷ 213
    3669 ÷ 8192     		x = 0.4478759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2812 ÷ 213
    2812 ÷ 8192     		y = 0.34326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4478759765625 × 2 - 1) × π
    -0.104248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32750490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.34326171875 × 2 - 1) × π
    0.3134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.984815665794434
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32750490} λ = -0.32750490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.984815665794434))-π/2
    2×atan(2.6773183175867)-π/2
    2×1.21333429029029-π/2
    2.42666858058058-1.57079632675     		φ = 0.85587225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32750490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.764649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.85587225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.037868°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3669 KachelY 2812 -0.32750490 0.85587225 -18.764649 49.037868
    Oben rechts KachelX + 1 3670 KachelY 2812 -0.32673791 0.85587225 -18.720703 49.037868
    Unten links KachelX 3669 KachelY + 1 2813 -0.32750490 0.85536930 -18.764649 49.009051
    Unten rechts KachelX + 1 3670 KachelY + 1 2813 -0.32673791 0.85536930 -18.720703 49.009051
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.85587225-0.85536930) × R
    0.000502950000000002 × 6371000     		dl = 3204.29445000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.85587225-0.85536930) × R
    0.000502950000000002 × 6371000     		dr = 3204.29445000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32750490--0.32673791) × cos(0.85587225) × R
    0.000766989999999967 × 0.655560085708572 × 6371000     		do = 3203.38996000663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32750490--0.32673791) × cos(0.85536930) × R
    0.000766989999999967 × 0.655939801957449 × 6371000     		du = 3205.24544090887m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.85587225)-sin(0.85536930))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.655560085708572-0.655939801957449)×R²
    abs(-0.32673791--0.32750490)×0.000379716248876671×R²
    0.000766989999999967×0.000379716248876671×6371000²
    0.000766989999999967×0.000379716248876671×40589641000000     		ar = 10267577.6400507m²