Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
13 / 3669 / 2360
↖ ↑ ↗
← N 60.413853°
W 18.764649°		 ← 2 412.62 m → N 60.413853°
W 18.720703°		 →
↑
2 413.46 m
↓
↑
2 413.46 m
↓
N 60.392148°
W 18.764649°		 ← 2 414.23 m →
5 824 701 m²		 N 60.392148°
W 18.720703°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44793701171875 y=0.28814697265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44793701171875 × 213)
    floor (0.44793701171875 × 8192)
    floor (3669.5)     		tx = 3669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.28814697265625 × 213)
    floor (0.28814697265625 × 8192)
    floor (2360.5)     		ty = 2360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3669 / 2360 ti = "13/3669/2360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3669/2360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3669 ÷ 213
    3669 ÷ 8192     		x = 0.4478759765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2360 ÷ 213
    2360 ÷ 8192     		y = 0.2880859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4478759765625 × 2 - 1) × π
    -0.104248046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32750490
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2880859375 × 2 - 1) × π
    0.423828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.33149532384668
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32750490} λ = -0.32750490}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.33149532384668))-π/2
    2×atan(3.78670150121338)-π/2
    2×1.31260848205272-π/2
    2.62521696410543-1.57079632675     		φ = 1.05442064
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32750490} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.764649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.05442064 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 60.413853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3669 KachelY 2360 -0.32750490 1.05442064 -18.764649 60.413853
    Oben rechts KachelX + 1 3670 KachelY 2360 -0.32673791 1.05442064 -18.720703 60.413853
    Unten links KachelX 3669 KachelY + 1 2361 -0.32750490 1.05404182 -18.764649 60.392148
    Unten rechts KachelX + 1 3670 KachelY + 1 2361 -0.32673791 1.05404182 -18.720703 60.392148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.05442064-1.05404182) × R
    0.000378820000000113 × 6371000     		dl = 2413.46222000072m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.05442064-1.05404182) × R
    0.000378820000000113 × 6371000     		dr = 2413.46222000072m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32750490--0.32673791) × cos(1.05442064) × R
    0.000766989999999967 × 0.493731632799719 × 6371000     		do = 2412.61631073647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32750490--0.32673791) × cos(1.05404182) × R
    0.000766989999999967 × 0.494061024664174 × 6371000     		du = 2414.22588187191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.05442064)-sin(1.05404182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.493731632799719-0.494061024664174)×R²
    abs(-0.32673791--0.32750490)×0.000329391864454576×R²
    0.000766989999999967×0.000329391864454576×6371000²
    0.000766989999999967×0.000329391864454576×40589641000000     		ar = 5824700.70653655m²