Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36689 / 103674
↖ ↑ ↗
← S 71.741269°
W 79.230652°		 ← 95.67 m → S 71.741269°
W 79.227905°		 →
↑
95.69 m
↓
↑
95.69 m
↓
S 71.742130°
W 79.230652°		 ← 95.67 m →
9 155 m²		 S 71.742130°
W 79.227905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103674 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279918670654297 y=0.790973663330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279918670654297 × 217)
    floor (0.279918670654297 × 131072)
    floor (36689.5)     		tx = 36689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.790973663330078 × 217)
    floor (0.790973663330078 × 131072)
    floor (103674.5)     		ty = 103674
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36689 / 103674 ti = "17/36689/103674"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36689/103674.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36689 ÷ 217
    36689 ÷ 131072     		x = 0.279914855957031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103674 ÷ 217
    103674 ÷ 131072     		y = 0.790969848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279914855957031 × 2 - 1) × π
    -0.440170288085938 × 3.1415926535     		Λ = -1.38283574
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.790969848632812 × 2 - 1) × π
    -0.581939697265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.8282174777097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38283574} λ = -1.38283574}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8282174777097))-π/2
    2×atan(0.160699763534779)-π/2
    2×0.159337484342355-π/2
    0.318674968684711-1.57079632675     		φ = -1.25212136
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38283574} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.230652°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25212136 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.741269°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36689 KachelY 103674 -1.38283574 -1.25212136 -79.230652 -71.741269
    Oben rechts KachelX + 1 36690 KachelY 103674 -1.38278781 -1.25212136 -79.227905 -71.741269
    Unten links KachelX 36689 KachelY + 1 103675 -1.38283574 -1.25213638 -79.230652 -71.742130
    Unten rechts KachelX + 1 36690 KachelY + 1 103675 -1.38278781 -1.25213638 -79.227905 -71.742130
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25212136--1.25213638) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dl = 95.6924199998517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25212136--1.25213638) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dr = 95.6924199998517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38283574--1.38278781) × cos(-1.25212136) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.313308516391486 × 6371000     		do = 95.6725245816511m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38283574--1.38278781) × cos(-1.25213638) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.313294252592181 × 6371000     		du = 95.6681689589396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25212136)-sin(-1.25213638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313308516391486-0.313294252592181)×R²
    abs(-1.38278781--1.38283574)×1.42637993057471e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.42637993057471e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.42637993057471e-05×40589641000000     		ar = 9154.92700479663m²