Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36688 / 103670
↖ ↑ ↗
← S 71.737827°
W 79.233398°		 ← 95.71 m → S 71.737827°
W 79.230652°		 →
↑
95.69 m
↓
↑
95.69 m
↓
S 71.738688°
W 79.233398°		 ← 95.71 m →
9 159 m²		 S 71.738688°
W 79.230652°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279911041259766 y=0.790943145751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279911041259766 × 217)
    floor (0.279911041259766 × 131072)
    floor (36688.5)     		tx = 36688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.790943145751953 × 217)
    floor (0.790943145751953 × 131072)
    floor (103670.5)     		ty = 103670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36688 / 103670 ti = "17/36688/103670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36688/103670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36688 ÷ 217
    36688 ÷ 131072     		x = 0.2799072265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103670 ÷ 217
    103670 ÷ 131072     		y = 0.790939331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.2799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.440185546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38288368
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.790939331054688 × 2 - 1) × π
    -0.581878662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.82802573011122
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38288368} λ = -1.38288368}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82802573011122))-π/2
    2×atan(0.160730580282938)-π/2
    2×0.159367525155343-π/2
    0.318735050310687-1.57079632675     		φ = -1.25206128
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38288368} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.233398°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25206128 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.737827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36688 KachelY 103670 -1.38288368 -1.25206128 -79.233398 -71.737827
    Oben rechts KachelX + 1 36689 KachelY 103670 -1.38283574 -1.25206128 -79.230652 -71.737827
    Unten links KachelX 36688 KachelY + 1 103671 -1.38288368 -1.25207630 -79.233398 -71.738688
    Unten rechts KachelX + 1 36689 KachelY + 1 103671 -1.38283574 -1.25207630 -79.230652 -71.738688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25206128--1.25207630) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dl = 95.6924199998517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25206128--1.25207630) × R
    1.50199999999767e-05 × 6371000     		dr = 95.6924199998517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38288368--1.38283574) × cos(-1.25206128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313365570881852 × 6371000     		do = 95.7099113770493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38288368--1.38283574) × cos(-1.25207630) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313351307365296 × 6371000     		du = 95.7055549319501m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25206128)-sin(-1.25207630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313365570881852-0.313351307365296)×R²
    abs(-1.38283574--1.38288368)×1.42635165562566e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42635165562566e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42635165562566e-05×40589641000000     		ar = 9158.50459846347m²