Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36687 / 103669
↖ ↑ ↗
← S 71.736966°
W 79.236145°		 ← 95.71 m → S 71.736966°
W 79.233398°		 →
↑
95.76 m
↓
↑
95.76 m
↓
S 71.737827°
W 79.236145°		 ← 95.71 m →
9 165 m²		 S 71.737827°
W 79.233398°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36687 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279903411865234 y=0.790935516357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279903411865234 × 217)
    floor (0.279903411865234 × 131072)
    floor (36687.5)     		tx = 36687
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.790935516357422 × 217)
    floor (0.790935516357422 × 131072)
    floor (103669.5)     		ty = 103669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36687 / 103669 ti = "17/36687/103669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36687/103669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36687 ÷ 217
    36687 ÷ 131072     		x = 0.279899597167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103669 ÷ 217
    103669 ÷ 131072     		y = 0.790931701660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279899597167969 × 2 - 1) × π
    -0.440200805664062 × 3.1415926535     		Λ = -1.38293162
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.790931701660156 × 2 - 1) × π
    -0.581863403320312 × 3.1415926535     		Φ = -1.8279777932116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38293162} λ = -1.38293162}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.8279777932116))-π/2
    2×atan(0.160738285393309)-π/2
    2×0.159375036213341-π/2
    0.318750072426681-1.57079632675     		φ = -1.25204625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38293162} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.236145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25204625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.736966°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36687 KachelY 103669 -1.38293162 -1.25204625 -79.236145 -71.736966
    Oben rechts KachelX + 1 36688 KachelY 103669 -1.38288368 -1.25204625 -79.233398 -71.736966
    Unten links KachelX 36687 KachelY + 1 103670 -1.38293162 -1.25206128 -79.236145 -71.737827
    Unten rechts KachelX + 1 36688 KachelY + 1 103670 -1.38288368 -1.25206128 -79.233398 -71.737827
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25204625--1.25206128) × R
    1.50299999999159e-05 × 6371000     		dl = 95.7561299994645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25204625--1.25206128) × R
    1.50299999999159e-05 × 6371000     		dr = 95.7561299994645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38293162--1.38288368) × cos(-1.25204625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313379843823991 × 6371000     		do = 95.7142707009642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38293162--1.38288368) × cos(-1.25206128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313365570881852 × 6371000     		du = 95.7099113770493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25204625)-sin(-1.25206128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313379843823991-0.313365570881852)×R²
    abs(-1.38288368--1.38293162)×1.42729421394594e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42729421394594e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42729421394594e-05×40589641000000     		ar = 9165.01943224019m²