Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36683 / 38223
↖ ↑ ↗
← S 28.685769°
E 21.505737°		 ← 535.88 m → S 28.685769°
E 21.511231°		 →
↑
535.86 m
↓
↑
535.86 m
↓
S 28.690588°
E 21.505737°		 ← 535.85 m →
287 152 m²		 S 28.690588°
E 21.511231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36683 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38223 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559745788574219 y=0.583244323730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559745788574219 × 216)
    floor (0.559745788574219 × 65536)
    floor (36683.5)     		tx = 36683
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583244323730469 × 216)
    floor (0.583244323730469 × 65536)
    floor (38223.5)     		ty = 38223
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36683 / 38223 ti = "16/36683/38223"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36683/38223.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36683 ÷ 216
    36683 ÷ 65536     		x = 0.559738159179688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38223 ÷ 216
    38223 ÷ 65536     		y = 0.583236694335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559738159179688 × 2 - 1) × π
    0.119476318359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37534592
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583236694335938 × 2 - 1) × π
    -0.166473388671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.522991574854813
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37534592} λ = 0.37534592}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522991574854813))-π/2
    2×atan(0.592744652934135)-π/2
    2×0.535067606371115-π/2
    1.07013521274223-1.57079632675     		φ = -0.50066111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37534592} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.505737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50066111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.685769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36683 KachelY 38223 0.37534592 -0.50066111 21.505737 -28.685769
    Oben rechts KachelX + 1 36684 KachelY 38223 0.37544180 -0.50066111 21.511231 -28.685769
    Unten links KachelX 36683 KachelY + 1 38224 0.37534592 -0.50074522 21.505737 -28.690588
    Unten rechts KachelX + 1 36684 KachelY + 1 38224 0.37544180 -0.50074522 21.511231 -28.690588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50066111--0.50074522) × R
    8.41099999999706e-05 × 6371000     		dl = 535.864809999813m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50066111--0.50074522) × R
    8.41099999999706e-05 × 6371000     		dr = 535.864809999813m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37534592-0.37544180) × cos(-0.50066111) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.877265417114702 × 6371000     		do = 535.878878397292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37534592-0.37544180) × cos(-0.50074522) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.877225040739587 × 6371000     		du = 535.854214428796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50066111)-sin(-0.50074522))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877265417114702-0.877225040739587)×R²
    abs(0.37544180-0.37534592)×4.03763751148922e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.03763751148922e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.03763751148922e-05×40589641000000     		ar = 287152.025248039m²