Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 36682 / 30648
↖ ↑ ↗
← N 11.566144°
E 21.500244°		 ← 598.39 m → N 11.566144°
E 21.505737°		 →
↑
598.43 m
↓
↑
598.43 m
↓
N 11.560762°
E 21.500244°		 ← 598.40 m →
358 094 m²		 N 11.560762°
E 21.505737°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36682 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559730529785156 y=0.467658996582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559730529785156 × 216)
    floor (0.559730529785156 × 65536)
    floor (36682.5)     		tx = 36682
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467658996582031 × 216)
    floor (0.467658996582031 × 65536)
    floor (30648.5)     		ty = 30648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36682 / 30648 ti = "16/36682/30648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36682/30648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36682 ÷ 216
    36682 ÷ 65536     		x = 0.559722900390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30648 ÷ 216
    30648 ÷ 65536     		y = 0.4676513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559722900390625 × 2 - 1) × π
    0.11944580078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.37525005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4676513671875 × 2 - 1) × π
    0.064697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.203252454389038
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37525005} λ = 0.37525005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.203252454389038))-π/2
    2×atan(1.22538178221119)-π/2
    2×0.886331808647845-π/2
    1.77266361729569-1.57079632675     		φ = 0.20186729
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37525005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.500244°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20186729 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.566144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36682 KachelY 30648 0.37525005 0.20186729 21.500244 11.566144
    Oben rechts KachelX + 1 36683 KachelY 30648 0.37534592 0.20186729 21.505737 11.566144
    Unten links KachelX 36682 KachelY + 1 30649 0.37525005 0.20177336 21.500244 11.560762
    Unten rechts KachelX + 1 36683 KachelY + 1 30649 0.37534592 0.20177336 21.505737 11.560762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20186729-0.20177336) × R
    9.39299999999921e-05 × 6371000     		dl = 598.42802999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20186729-0.20177336) × R
    9.39299999999921e-05 × 6371000     		dr = 598.42802999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37525005-0.37534592) × cos(0.20186729) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979693896168297 × 6371000     		do = 598.385050123233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37525005-0.37534592) × cos(0.20177336) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.979712724722371 × 6371000     		du = 598.396550373787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20186729)-sin(0.20177336))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.979693896168297-0.979712724722371)×R²
    abs(0.37534592-0.37525005)×1.88285540730915e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.88285540730915e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.88285540730915e-05×40589641000000     		ar = 358093.828026116m²