Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36680 / 30742
↖ ↑ ↗
← N 11.059821°
E 21.489258°		 ← 599.51 m → N 11.059821°
E 21.494751°		 →
↑
599.51 m
↓
↑
599.51 m
↓
N 11.054429°
E 21.489258°		 ← 599.52 m →
359 414 m²		 N 11.054429°
E 21.494751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30742 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559700012207031 y=0.469093322753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559700012207031 × 216)
    floor (0.559700012207031 × 65536)
    floor (36680.5)     		tx = 36680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469093322753906 × 216)
    floor (0.469093322753906 × 65536)
    floor (30742.5)     		ty = 30742
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36680 / 30742 ti = "16/36680/30742"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36680/30742.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36680 ÷ 216
    36680 ÷ 65536     		x = 0.5596923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30742 ÷ 216
    30742 ÷ 65536     		y = 0.469085693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5596923828125 × 2 - 1) × π
    0.119384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37505830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469085693359375 × 2 - 1) × π
    0.06182861328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.194240317260468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37505830} λ = 0.37505830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.194240317260468))-π/2
    2×atan(1.21438808631018)-π/2
    2×0.881913307464263-π/2
    1.76382661492853-1.57079632675     		φ = 0.19303029
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37505830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.489258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19303029 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.059821°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36680 KachelY 30742 0.37505830 0.19303029 21.489258 11.059821
    Oben rechts KachelX + 1 36681 KachelY 30742 0.37515418 0.19303029 21.494751 11.059821
    Unten links KachelX 36680 KachelY + 1 30743 0.37505830 0.19293619 21.489258 11.054429
    Unten rechts KachelX + 1 36681 KachelY + 1 30743 0.37515418 0.19293619 21.494751 11.054429
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19303029-0.19293619) × R
    9.40999999999859e-05 × 6371000     		dl = 599.51109999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19303029-0.19293619) × R
    9.40999999999859e-05 × 6371000     		dr = 599.51109999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37505830-0.37515418) × cos(0.19303029) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.98142743007146 × 6371000     		do = 599.506398171702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37505830-0.37515418) × cos(0.19293619) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.981445477285042 × 6371000     		du = 599.517422338828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19303029)-sin(0.19293619))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.98142743007146-0.981445477285042)×R²
    abs(0.37515418-0.37505830)×1.80472135814513e-05×R²
    9.58799999999926e-05×1.80472135814513e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×1.80472135814513e-05×40589641000000     		ar = 359414.04504545m²