Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36680 / 27700
↖ ↑ ↗
← N 26.804461°
E 21.489258°		 ← 545.22 m → N 26.804461°
E 21.494751°		 →
↑
545.17 m
↓
↑
545.17 m
↓
N 26.799558°
E 21.489258°		 ← 545.24 m →
297 240 m²		 N 26.799558°
E 21.494751°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559700012207031 y=0.422676086425781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559700012207031 × 216)
    floor (0.559700012207031 × 65536)
    floor (36680.5)     		tx = 36680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422676086425781 × 216)
    floor (0.422676086425781 × 65536)
    floor (27700.5)     		ty = 27700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36680 / 27700 ti = "16/36680/27700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36680/27700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36680 ÷ 216
    36680 ÷ 65536     		x = 0.5596923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27700 ÷ 216
    27700 ÷ 65536     		y = 0.42266845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5596923828125 × 2 - 1) × π
    0.119384765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37505830
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42266845703125 × 2 - 1) × π
    0.1546630859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.485888414548889
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37505830} λ = 0.37505830}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.485888414548889))-π/2
    2×atan(1.62561859070664)-π/2
    2×1.01931121069019-π/2
    2.03862242138037-1.57079632675     		φ = 0.46782609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37505830} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.489258°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46782609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.804461°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36680 KachelY 27700 0.37505830 0.46782609 21.489258 26.804461
    Oben rechts KachelX + 1 36681 KachelY 27700 0.37515418 0.46782609 21.494751 26.804461
    Unten links KachelX 36680 KachelY + 1 27701 0.37505830 0.46774052 21.489258 26.799558
    Unten rechts KachelX + 1 36681 KachelY + 1 27701 0.37515418 0.46774052 21.494751 26.799558
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46782609-0.46774052) × R
    8.55700000000348e-05 × 6371000     		dl = 545.166470000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46782609-0.46774052) × R
    8.55700000000348e-05 × 6371000     		dr = 545.166470000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37505830-0.37515418) × cos(0.46782609) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.892550714720881 × 6371000     		do = 545.215925062266m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37505830-0.37515418) × cos(0.46774052) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.892589298990252 × 6371000     		du = 545.239494320316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46782609)-sin(0.46774052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892550714720881-0.892589298990252)×R²
    abs(0.37515418-0.37505830)×3.85842693714222e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.85842693714222e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.85842693714222e-05×40589641000000     		ar = 297239.866019894m²