Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3668 / 5364
↖ ↑ ↗
← S 48.574790°
W 18.808594°		 ← 3 233.11 m → S 48.574790°
W 18.764649°		 →
↑
3 232.14 m
↓
↑
3 232.14 m
↓
S 48.603857°
W 18.808594°		 ← 3 231.25 m →
10 446 841 m²		 S 48.603857°
W 18.764649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44781494140625 y=0.65484619140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44781494140625 × 213)
    floor (0.44781494140625 × 8192)
    floor (3668.5)     		tx = 3668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.65484619140625 × 213)
    floor (0.65484619140625 × 8192)
    floor (5364.5)     		ty = 5364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3668 / 5364 ti = "13/3668/5364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3668/5364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3668 ÷ 213
    3668 ÷ 8192     		x = 0.44775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5364 ÷ 213
    5364 ÷ 8192     		y = 0.65478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44775390625 × 2 - 1) × π
    -0.1044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32827189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65478515625 × 2 - 1) × π
    -0.3095703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.972543819491699
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32827189} λ = -0.32827189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.972543819491699))-π/2
    2×atan(0.378119944769246)-π/2
    2×0.361503154701528-π/2
    0.723006309403057-1.57079632675     		φ = -0.84779002
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32827189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.84779002 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.574790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3668 KachelY 5364 -0.32827189 -0.84779002 -18.808594 -48.574790
    Oben rechts KachelX + 1 3669 KachelY 5364 -0.32750490 -0.84779002 -18.764649 -48.574790
    Unten links KachelX 3668 KachelY + 1 5365 -0.32827189 -0.84829734 -18.808594 -48.603857
    Unten rechts KachelX + 1 3669 KachelY + 1 5365 -0.32750490 -0.84829734 -18.764649 -48.603857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.84779002--0.84829734) × R
    0.000507319999999978 × 6371000     		dl = 3232.13571999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.84779002--0.84829734) × R
    0.000507319999999978 × 6371000     		dr = 3232.13571999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32827189--0.32750490) × cos(-0.84779002) × R
    0.000766990000000023 × 0.661641847521221 × 6371000     		do = 3233.10844829575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32827189--0.32750490) × cos(-0.84829734) × R
    0.000766990000000023 × 0.661261363699339 × 6371000     		du = 3231.24921665317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.84779002)-sin(-0.84829734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.661641847521221-0.661261363699339)×R²
    abs(-0.32750490--0.32827189)×0.000380483821881383×R²
    0.000766990000000023×0.000380483821881383×6371000²
    0.000766990000000023×0.000380483821881383×40589641000000     		ar = 10446840.8819297m²