Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3668 / 2449
↖ ↑ ↗
← N 58.424730°
W 18.808594°		 ← 2 558.66 m → N 58.424730°
W 18.764649°		 →
↑
2 559.49 m
↓
↑
2 559.49 m
↓
N 58.401712°
W 18.808594°		 ← 2 560.33 m →
6 550 986 m²		 N 58.401712°
W 18.764649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.44781494140625 y=0.29901123046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.44781494140625 × 213)
    floor (0.44781494140625 × 8192)
    floor (3668.5)     		tx = 3668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.29901123046875 × 213)
    floor (0.29901123046875 × 8192)
    floor (2449.5)     		ty = 2449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3668 / 2449 ti = "13/3668/2449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3668/2449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3668 ÷ 213
    3668 ÷ 8192     		x = 0.44775390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2449 ÷ 213
    2449 ÷ 8192     		y = 0.2989501953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44775390625 × 2 - 1) × π
    -0.1044921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.32827189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2989501953125 × 2 - 1) × π
    0.402099609375 × 3.1415926535     		Φ = 1.26323317878772
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32827189} λ = -0.32827189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.26323317878772))-π/2
    2×atan(3.53683825161072)-π/2
    2×1.29525011278349-π/2
    2.59050022556698-1.57079632675     		φ = 1.01970390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32827189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.808594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01970390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 58.424730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3668 KachelY 2449 -0.32827189 1.01970390 -18.808594 58.424730
    Oben rechts KachelX + 1 3669 KachelY 2449 -0.32750490 1.01970390 -18.764649 58.424730
    Unten links KachelX 3668 KachelY + 1 2450 -0.32827189 1.01930216 -18.808594 58.401712
    Unten rechts KachelX + 1 3669 KachelY + 1 2450 -0.32750490 1.01930216 -18.764649 58.401712
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01970390-1.01930216) × R
    0.000401740000000039 × 6371000     		dl = 2559.48554000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01970390-1.01930216) × R
    0.000401740000000039 × 6371000     		dr = 2559.48554000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32827189--0.32750490) × cos(1.01970390) × R
    0.000766990000000023 × 0.523618237490152 × 6371000     		do = 2558.65700401733m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32827189--0.32750490) × cos(1.01930216) × R
    0.000766990000000023 × 0.52396045883088 × 6371000     		du = 2560.32926630249m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01970390)-sin(1.01930216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.523618237490152-0.52396045883088)×R²
    abs(-0.32750490--0.32827189)×0.000342221340727478×R²
    0.000766990000000023×0.000342221340727478×6371000²
    0.000766990000000023×0.000342221340727478×40589641000000     		ar = 6550985.75727984m²