Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36679 / 30743
↖ ↑ ↗
← N 11.054429°
E 21.483765°		 ← 599.45 m → N 11.054429°
E 21.489258°		 →
↑
599.45 m
↓
↑
599.45 m
↓
N 11.049038°
E 21.483765°		 ← 599.47 m →
359 345 m²		 N 11.049038°
E 21.489258°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36679 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30743 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559684753417969 y=0.469108581542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559684753417969 × 216)
    floor (0.559684753417969 × 65536)
    floor (36679.5)     		tx = 36679
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.469108581542969 × 216)
    floor (0.469108581542969 × 65536)
    floor (30743.5)     		ty = 30743
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36679 / 30743 ti = "16/36679/30743"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36679/30743.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36679 ÷ 216
    36679 ÷ 65536     		x = 0.559677124023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30743 ÷ 216
    30743 ÷ 65536     		y = 0.469100952148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559677124023438 × 2 - 1) × π
    0.119354248046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37496243
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.469100952148438 × 2 - 1) × π
    0.061798095703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.194144443461227
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37496243} λ = 0.37496243}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.194144443461227))-π/2
    2×atan(1.21427166389162)-π/2
    2×0.881866260443477-π/2
    1.76373252088695-1.57079632675     		φ = 0.19293619
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37496243} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.483765°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.19293619 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.054429°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36679 KachelY 30743 0.37496243 0.19293619 21.483765 11.054429
    Oben rechts KachelX + 1 36680 KachelY 30743 0.37505830 0.19293619 21.489258 11.054429
    Unten links KachelX 36679 KachelY + 1 30744 0.37496243 0.19284210 21.483765 11.049038
    Unten rechts KachelX + 1 36680 KachelY + 1 30744 0.37505830 0.19284210 21.489258 11.049038
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.19293619-0.19284210) × R
    9.40900000000189e-05 × 6371000     		dl = 599.44739000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.19293619-0.19284210) × R
    9.40900000000189e-05 × 6371000     		dr = 599.44739000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37496243-0.37505830) × cos(0.19293619) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.981445477285042 × 6371000     		do = 599.454894447503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37496243-0.37505830) × cos(0.19284210) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.98146351389162 × 6371000     		du = 599.465910986213m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.19293619)-sin(0.19284210))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.981445477285042-0.98146351389162)×R²
    abs(0.37505830-0.37496243)×1.80366065776205e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.80366065776205e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.80366065776205e-05×40589641000000     		ar = 359344.974082103m²