Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36675 / 27711
↖ ↑ ↗
← N 26.750516°
E 21.461792°		 ← 545.48 m → N 26.750516°
E 21.467285°		 →
↑
545.49 m
↓
↑
545.49 m
↓
N 26.745610°
E 21.461792°		 ← 545.50 m →
297 555 m²		 N 26.745610°
E 21.467285°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36675 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27711 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559623718261719 y=0.422843933105469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559623718261719 × 216)
    floor (0.559623718261719 × 65536)
    floor (36675.5)     		tx = 36675
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422843933105469 × 216)
    floor (0.422843933105469 × 65536)
    floor (27711.5)     		ty = 27711
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36675 / 27711 ti = "16/36675/27711"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36675/27711.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36675 ÷ 216
    36675 ÷ 65536     		x = 0.559616088867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27711 ÷ 216
    27711 ÷ 65536     		y = 0.422836303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559616088867188 × 2 - 1) × π
    0.119232177734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.37457893
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422836303710938 × 2 - 1) × π
    0.154327392578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.484833802757248
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37457893} λ = 0.37457893}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484833802757248))-π/2
    2×atan(1.62390509786586)-π/2
    2×1.01884045157507-π/2
    2.03768090315015-1.57079632675     		φ = 0.46688458
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37457893} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.461792°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46688458 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.750516°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36675 KachelY 27711 0.37457893 0.46688458 21.461792 26.750516
    Oben rechts KachelX + 1 36676 KachelY 27711 0.37467481 0.46688458 21.467285 26.750516
    Unten links KachelX 36675 KachelY + 1 27712 0.37457893 0.46679896 21.461792 26.745610
    Unten rechts KachelX + 1 36676 KachelY + 1 27712 0.37467481 0.46679896 21.467285 26.745610
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46688458-0.46679896) × R
    8.56200000000085e-05 × 6371000     		dl = 545.485020000054m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46688458-0.46679896) × R
    8.56200000000085e-05 × 6371000     		dr = 545.485020000054m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37457893-0.37467481) × cos(0.46688458) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.892974890197277 × 6371000     		do = 545.475033280118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37457893-0.37467481) × cos(0.46679896) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.893013425041148 × 6371000     		du = 545.498572346528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46688458)-sin(0.46679896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.892974890197277-0.893013425041148)×R²
    abs(0.37467481-0.37457893)×3.853484387073e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.853484387073e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.853484387073e-05×40589641000000     		ar = 297554.879724279m²