Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36674 / 27710
↖ ↑ ↗
← N 26.755421°
E 21.456299°		 ← 545.39 m → N 26.755421°
E 21.461792°		 →
↑
545.42 m
↓
↑
545.42 m
↓
N 26.750516°
E 21.456299°		 ← 545.42 m →
297 476 m²		 N 26.750516°
E 21.461792°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559608459472656 y=0.422828674316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559608459472656 × 216)
    floor (0.559608459472656 × 65536)
    floor (36674.5)     		tx = 36674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.422828674316406 × 216)
    floor (0.422828674316406 × 65536)
    floor (27710.5)     		ty = 27710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36674 / 27710 ti = "16/36674/27710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36674/27710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36674 ÷ 216
    36674 ÷ 65536     		x = 0.559600830078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27710 ÷ 216
    27710 ÷ 65536     		y = 0.422821044921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559600830078125 × 2 - 1) × π
    0.11920166015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37448306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.422821044921875 × 2 - 1) × π
    0.15435791015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.484929676556488
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37448306} λ = 0.37448306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.484929676556488))-π/2
    2×atan(1.62406079528073)-π/2
    2×1.01888325709917-π/2
    2.03776651419833-1.57079632675     		φ = 0.46697019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37448306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.456299°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.46697019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 26.755421°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36674 KachelY 27710 0.37448306 0.46697019 21.456299 26.755421
    Oben rechts KachelX + 1 36675 KachelY 27710 0.37457893 0.46697019 21.461792 26.755421
    Unten links KachelX 36674 KachelY + 1 27711 0.37448306 0.46688458 21.456299 26.750516
    Unten rechts KachelX + 1 36675 KachelY + 1 27711 0.37457893 0.46688458 21.461792 26.750516
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.46697019-0.46688458) × R
    8.56100000000137e-05 × 6371000     		dl = 545.421310000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.46697019-0.46688458) × R
    8.56100000000137e-05 × 6371000     		dr = 545.421310000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37448306-0.37457893) × cos(0.46697019) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.89293635330903 × 6371000     		do = 545.394603989542m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37448306-0.37457893) × cos(0.46688458) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.892974890197277 × 6371000     		du = 545.418141849578m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.46697019)-sin(0.46688458))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.89293635330903-0.892974890197277)×R²
    abs(0.37457893-0.37448306)×3.85368882478421e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.85368882478421e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.85368882478421e-05×40589641000000     		ar = 297476.258581943m²