Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36672 / 38336
↖ ↑ ↗
← S 29.228890°
E 21.445312°		 ← 533.08 m → S 29.228890°
E 21.450806°		 →
↑
533 m
↓
↑
533 m
↓
S 29.233684°
E 21.445312°		 ← 533.05 m →
284 121 m²		 S 29.233684°
E 21.450806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38336 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559577941894531 y=0.584968566894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559577941894531 × 216)
    floor (0.559577941894531 × 65536)
    floor (36672.5)     		tx = 36672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584968566894531 × 216)
    floor (0.584968566894531 × 65536)
    floor (38336.5)     		ty = 38336
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36672 / 38336 ti = "16/36672/38336"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36672/38336.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36672 ÷ 216
    36672 ÷ 65536     		x = 0.5595703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38336 ÷ 216
    38336 ÷ 65536     		y = 0.5849609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5595703125 × 2 - 1) × π
    0.119140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.37429131
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5849609375 × 2 - 1) × π
    -0.169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.533825314168945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37429131} λ = 0.37429131}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533825314168945))-π/2
    2×atan(0.586357671798541)-π/2
    2×0.530327979538989-π/2
    1.06065595907798-1.57079632675     		φ = -0.51014037
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37429131} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.445312°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51014037 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.228890°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36672 KachelY 38336 0.37429131 -0.51014037 21.445312 -29.228890
    Oben rechts KachelX + 1 36673 KachelY 38336 0.37438719 -0.51014037 21.450806 -29.228890
    Unten links KachelX 36672 KachelY + 1 38337 0.37429131 -0.51022403 21.445312 -29.233684
    Unten rechts KachelX + 1 36673 KachelY + 1 38337 0.37438719 -0.51022403 21.450806 -29.233684
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51014037--0.51022403) × R
    8.36600000000409e-05 × 6371000     		dl = 532.997860000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51014037--0.51022403) × R
    8.36600000000409e-05 × 6371000     		dr = 532.997860000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37429131-0.37438719) × cos(-0.51014037) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.872675973607667 × 6371000     		do = 533.075410038644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37429131-0.37438719) × cos(-0.51022403) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.872635119396768 × 6371000     		du = 533.050454183451m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51014037)-sin(-0.51022403))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872675973607667-0.872635119396768)×R²
    abs(0.37438719-0.37429131)×4.08542108997212e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.08542108997212e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.08542108997212e-05×40589641000000     		ar = 284121.402226438m²