Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36672 / 102847
↖ ↑ ↗
← S 71.016066°
W 79.277344°		 ← 99.36 m → S 71.016066°
W 79.274597°		 →
↑
99.32 m
↓
↑
99.32 m
↓
S 71.016960°
W 79.277344°		 ← 99.35 m →
9 868 m²		 S 71.016960°
W 79.274597°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36672 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102847 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279788970947266 y=0.784664154052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279788970947266 × 217)
    floor (0.279788970947266 × 131072)
    floor (36672.5)     		tx = 36672
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784664154052734 × 217)
    floor (0.784664154052734 × 131072)
    floor (102847.5)     		ty = 102847
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36672 / 102847 ti = "17/36672/102847"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36672/102847.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36672 ÷ 217
    36672 ÷ 131072     		x = 0.27978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102847 ÷ 217
    102847 ÷ 131072     		y = 0.784660339355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.27978515625 × 2 - 1) × π
    -0.4404296875 × 3.1415926535     		Λ = -1.38365067
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784660339355469 × 2 - 1) × π
    -0.569320678710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.78857366172392
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38365067} λ = -1.38365067}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78857366172392))-π/2
    2×atan(0.167198481263692)-π/2
    2×0.165666073977606-π/2
    0.331332147955213-1.57079632675     		φ = -1.23946418
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38365067} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.277344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23946418 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.016066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36672 KachelY 102847 -1.38365067 -1.23946418 -79.277344 -71.016066
    Oben rechts KachelX + 1 36673 KachelY 102847 -1.38360273 -1.23946418 -79.274597 -71.016066
    Unten links KachelX 36672 KachelY + 1 102848 -1.38365067 -1.23947977 -79.277344 -71.016960
    Unten rechts KachelX + 1 36673 KachelY + 1 102848 -1.38360273 -1.23947977 -79.274597 -71.016960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23946418--1.23947977) × R
    1.55900000000653e-05 × 6371000     		dl = 99.3238900004159m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23946418--1.23947977) × R
    1.55900000000653e-05 × 6371000     		dr = 99.3238900004159m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38365067--1.38360273) × cos(-1.23946418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325303007772108 × 6371000     		do = 99.3559118729566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38365067--1.38360273) × cos(-1.23947977) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325288265675305 × 6371000     		du = 99.3514092571316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23946418)-sin(-1.23947977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325303007772108-0.325288265675305)×R²
    abs(-1.38360273--1.38365067)×1.47420968022449e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47420968022449e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47420968022449e-05×40589641000000     		ar = 9868.19205330643m²