Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36671 / 39363
↖ ↑ ↗
← S 34.029900°
E 21.439819°		 ← 506.19 m → S 34.029900°
E 21.445312°		 →
↑
506.24 m
↓
↑
506.24 m
↓
S 34.034453°
E 21.439819°		 ← 506.16 m →
256 245 m²		 S 34.034453°
E 21.445312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559562683105469 y=0.600639343261719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559562683105469 × 216)
    floor (0.559562683105469 × 65536)
    floor (36671.5)     		tx = 36671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.600639343261719 × 216)
    floor (0.600639343261719 × 65536)
    floor (39363.5)     		ty = 39363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36671 / 39363 ti = "16/36671/39363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36671/39363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36671 ÷ 216
    36671 ÷ 65536     		x = 0.559555053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39363 ÷ 216
    39363 ÷ 65536     		y = 0.600631713867188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559555053710938 × 2 - 1) × π
    0.119110107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37419544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.600631713867188 × 2 - 1) × π
    -0.201263427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.632287705988541
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37419544} λ = 0.37419544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.632287705988541))-π/2
    2×atan(0.531374780177988)-π/2
    2×0.488431261259299-π/2
    0.976862522518599-1.57079632675     		φ = -0.59393380
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37419544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.439819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.59393380 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -34.029900°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36671 KachelY 39363 0.37419544 -0.59393380 21.439819 -34.029900
    Oben rechts KachelX + 1 36672 KachelY 39363 0.37429131 -0.59393380 21.445312 -34.029900
    Unten links KachelX 36671 KachelY + 1 39364 0.37419544 -0.59401326 21.439819 -34.034453
    Unten rechts KachelX + 1 36672 KachelY + 1 39364 0.37429131 -0.59401326 21.445312 -34.034453
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.59393380--0.59401326) × R
    7.94600000000312e-05 × 6371000     		dl = 506.239660000199m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.59393380--0.59401326) × R
    7.94600000000312e-05 × 6371000     		dr = 506.239660000199m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37419544-0.37429131) × cos(-0.59393380) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.828745642448119 × 6371000     		do = 506.187702848093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37419544-0.37429131) × cos(-0.59401326) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.82870117199248 × 6371000     		du = 506.160540837662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.59393380)-sin(-0.59401326))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.828745642448119-0.82870117199248)×R²
    abs(0.37429131-0.37419544)×4.44704556394893e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.44704556394893e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.44704556394893e-05×40589641000000     		ar = 256245.415477371m²