Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 36671 / 30667
↖ ↑ ↗
← N 11.463874°
E 21.439819°		 ← 598.60 m → N 11.463874°
E 21.445312°		 →
↑
598.62 m
↓
↑
598.62 m
↓
N 11.458491°
E 21.439819°		 ← 598.61 m →
358 338 m²		 N 11.458491°
E 21.445312°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30667 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.559562683105469 y=0.467948913574219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.559562683105469 × 216)
    floor (0.559562683105469 × 65536)
    floor (36671.5)     		tx = 36671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.467948913574219 × 216)
    floor (0.467948913574219 × 65536)
    floor (30667.5)     		ty = 30667
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 36671 / 30667 ti = "16/36671/30667"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/36671/30667.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36671 ÷ 216
    36671 ÷ 65536     		x = 0.559555053710938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30667 ÷ 216
    30667 ÷ 65536     		y = 0.467941284179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.559555053710938 × 2 - 1) × π
    0.119110107421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.37419544
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.467941284179688 × 2 - 1) × π
    0.064117431640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.201430852203476
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.37419544} λ = 0.37419544}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.201430852203476))-π/2
    2×atan(1.22315165589672)-π/2
    2×0.885439339882442-π/2
    1.77087867976488-1.57079632675     		φ = 0.20008235
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.37419544} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.439819°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.20008235 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 11.463874°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36671 KachelY 30667 0.37419544 0.20008235 21.439819 11.463874
    Oben rechts KachelX + 1 36672 KachelY 30667 0.37429131 0.20008235 21.445312 11.463874
    Unten links KachelX 36671 KachelY + 1 30668 0.37419544 0.19998839 21.439819 11.458491
    Unten rechts KachelX + 1 36672 KachelY + 1 30668 0.37429131 0.19998839 21.445312 11.458491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.20008235-0.19998839) × R
    9.3960000000004e-05 × 6371000     		dl = 598.619160000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.20008235-0.19998839) × R
    9.3960000000004e-05 × 6371000     		dr = 598.619160000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.37419544-0.37429131) × cos(0.20008235) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980050214098697 × 6371000     		do = 598.602684757353m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.37419544-0.37429131) × cos(0.19998839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.980068884326119 × 6371000     		du = 598.614088303925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.20008235)-sin(0.19998839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.980050214098697-0.980068884326119)×R²
    abs(0.37429131-0.37419544)×1.86702274220796e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.86702274220796e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.86702274220796e-05×40589641000000     		ar = 358338.44977756m²