Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36670 / 103672
↖ ↑ ↗
← S 71.739548°
W 79.282837°		 ← 95.68 m → S 71.739548°
W 79.280090°		 →
↑
95.69 m
↓
↑
95.69 m
↓
S 71.740409°
W 79.282837°		 ← 95.68 m →
9 156 m²		 S 71.740409°
W 79.280090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279773712158203 y=0.790958404541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279773712158203 × 217)
    floor (0.279773712158203 × 131072)
    floor (36670.5)     		tx = 36670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.790958404541016 × 217)
    floor (0.790958404541016 × 131072)
    floor (103672.5)     		ty = 103672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36670 / 103672 ti = "17/36670/103672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36670/103672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36670 ÷ 217
    36670 ÷ 131072     		x = 0.279769897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103672 ÷ 217
    103672 ÷ 131072     		y = 0.79095458984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279769897460938 × 2 - 1) × π
    -0.440460205078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38374654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.79095458984375 × 2 - 1) × π
    -0.5819091796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.82812160391046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38374654} λ = -1.38374654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82812160391046))-π/2
    2×atan(0.160715171170229)-π/2
    2×0.159352504065077-π/2
    0.318705008130154-1.57079632675     		φ = -1.25209132
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38374654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.282837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25209132 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.739548°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36670 KachelY 103672 -1.38374654 -1.25209132 -79.282837 -71.739548
    Oben rechts KachelX + 1 36671 KachelY 103672 -1.38369861 -1.25209132 -79.280090 -71.739548
    Unten links KachelX 36670 KachelY + 1 103673 -1.38374654 -1.25210634 -79.282837 -71.740409
    Unten rechts KachelX + 1 36671 KachelY + 1 103673 -1.38369861 -1.25210634 -79.280090 -71.740409
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25209132--1.25210634) × R
    1.50200000001988e-05 × 6371000     		dl = 95.6924200012663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25209132--1.25210634) × R
    1.50200000001988e-05 × 6371000     		dr = 95.6924200012663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38374654--1.38369861) × cos(-1.25209132) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.313337043778047 × 6371000     		do = 95.6812357623219m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38374654--1.38369861) × cos(-1.25210634) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.31332278012011 × 6371000     		du = 95.6768801827788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25209132)-sin(-1.25210634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313337043778047-0.31332278012011)×R²
    abs(-1.38369861--1.38374654)×1.42636579376632e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.42636579376632e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.42636579376632e-05×40589641000000     		ar = 9155.76060116184m²