Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36670 / 102428
↖ ↑ ↗
← S 70.638127°
W 79.282837°		 ← 101.24 m → S 70.638127°
W 79.280090°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
S 70.639037°
W 79.282837°		 ← 101.23 m →
10 249 m²		 S 70.639037°
W 79.280090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102428 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279773712158203 y=0.781467437744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279773712158203 × 217)
    floor (0.279773712158203 × 131072)
    floor (36670.5)     		tx = 36670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.781467437744141 × 217)
    floor (0.781467437744141 × 131072)
    floor (102428.5)     		ty = 102428
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36670 / 102428 ti = "17/36670/102428"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36670/102428.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36670 ÷ 217
    36670 ÷ 131072     		x = 0.279769897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102428 ÷ 217
    102428 ÷ 131072     		y = 0.781463623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279769897460938 × 2 - 1) × π
    -0.440460205078125 × 3.1415926535     		Λ = -1.38374654
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.781463623046875 × 2 - 1) × π
    -0.56292724609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76848810078311
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38374654} λ = -1.38374654}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76848810078311))-π/2
    2×atan(0.170590709912888)-π/2
    2×0.168964218961426-π/2
    0.337928437922853-1.57079632675     		φ = -1.23286789
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38374654} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.282837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23286789 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.638127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36670 KachelY 102428 -1.38374654 -1.23286789 -79.282837 -70.638127
    Oben rechts KachelX + 1 36671 KachelY 102428 -1.38369861 -1.23286789 -79.280090 -70.638127
    Unten links KachelX 36670 KachelY + 1 102429 -1.38374654 -1.23288378 -79.282837 -70.639037
    Unten rechts KachelX + 1 36671 KachelY + 1 102429 -1.38369861 -1.23288378 -79.280090 -70.639037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23286789--1.23288378) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dl = 101.235190000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23286789--1.23288378) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dr = 101.235190000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38374654--1.38369861) × cos(-1.23286789) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.33153340210241 × 6371000     		do = 101.23771267886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38374654--1.38369861) × cos(-1.23288378) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.33151841074363 × 6371000     		du = 101.233134887111m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23286789)-sin(-1.23288378))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.33153340210241-0.33151841074363)×R²
    abs(-1.38369861--1.38374654)×1.49913587794703e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49913587794703e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49913587794703e-05×40589641000000     		ar = 10248.5873617308m²