Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36669 / 28739
↖ ↑ ↗
← N 70.551435°
W 79.285583°		 ← 101.69 m → N 70.551435°
W 79.282837°		 →
↑
101.68 m
↓
↑
101.68 m
↓
N 70.550521°
W 79.285583°		 ← 101.70 m →
10 341 m²		 N 70.550521°
W 79.282837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28739 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279766082763672 y=0.219264984130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279766082763672 × 217)
    floor (0.279766082763672 × 131072)
    floor (36669.5)     		tx = 36669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.219264984130859 × 217)
    floor (0.219264984130859 × 131072)
    floor (28739.5)     		ty = 28739
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36669 / 28739 ti = "17/36669/28739"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36669/28739.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36669 ÷ 217
    36669 ÷ 131072     		x = 0.279762268066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28739 ÷ 217
    28739 ÷ 131072     		y = 0.219261169433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279762268066406 × 2 - 1) × π
    -0.440475463867188 × 3.1415926535     		Λ = -1.38379448
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.219261169433594 × 2 - 1) × π
    0.561477661132812 × 3.1415926535     		Φ = 1.76393409531921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38379448} λ = -1.38379448}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76393409531921))-π/2
    2×atan(5.83534911604694)-π/2
    2×1.40107558163293-π/2
    2.80215116326587-1.57079632675     		φ = 1.23135484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38379448} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.285583°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23135484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.551435°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36669 KachelY 28739 -1.38379448 1.23135484 -79.285583 70.551435
    Oben rechts KachelX + 1 36670 KachelY 28739 -1.38374654 1.23135484 -79.282837 70.551435
    Unten links KachelX 36669 KachelY + 1 28740 -1.38379448 1.23133888 -79.285583 70.550521
    Unten rechts KachelX + 1 36670 KachelY + 1 28740 -1.38374654 1.23133888 -79.282837 70.550521
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23135484-1.23133888) × R
    1.59600000000371e-05 × 6371000     		dl = 101.681160000236m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23135484-1.23133888) × R
    1.59600000000371e-05 × 6371000     		dr = 101.681160000236m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38379448--1.38374654) × cos(1.23135484) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332960499224838 × 6371000     		do = 101.694706866449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38379448--1.38374654) × cos(1.23133888) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.332975548517207 × 6371000     		du = 101.699303307707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23135484)-sin(1.23133888))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332960499224838-0.332975548517207)×R²
    abs(-1.38374654--1.38379448)×1.50492923690071e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.50492923690071e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.50492923690071e-05×40589641000000     		ar = 10340.6694460047m²