Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36668 / 102846
↖ ↑ ↗
← S 71.015173°
W 79.288330°		 ← 99.36 m → S 71.015173°
W 79.285583°		 →
↑
99.39 m
↓
↑
99.39 m
↓
S 71.016066°
W 79.288330°		 ← 99.36 m →
9 875 m²		 S 71.016066°
W 79.285583°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36668 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102846 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279758453369141 y=0.784656524658203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279758453369141 × 217)
    floor (0.279758453369141 × 131072)
    floor (36668.5)     		tx = 36668
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.784656524658203 × 217)
    floor (0.784656524658203 × 131072)
    floor (102846.5)     		ty = 102846
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36668 / 102846 ti = "17/36668/102846"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36668/102846.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36668 ÷ 217
    36668 ÷ 131072     		x = 0.279754638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102846 ÷ 217
    102846 ÷ 131072     		y = 0.784652709960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279754638671875 × 2 - 1) × π
    -0.44049072265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.38384242
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.784652709960938 × 2 - 1) × π
    -0.569305419921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7885257248243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38384242} λ = -1.38384242}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7885257248243))-π/2
    2×atan(0.167206496432614)-π/2
    2×0.165673871163167-π/2
    0.331347742326335-1.57079632675     		φ = -1.23944858
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38384242} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.288330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23944858 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.015173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36668 KachelY 102846 -1.38384242 -1.23944858 -79.288330 -71.015173
    Oben rechts KachelX + 1 36669 KachelY 102846 -1.38379448 -1.23944858 -79.285583 -71.015173
    Unten links KachelX 36668 KachelY + 1 102847 -1.38384242 -1.23946418 -79.288330 -71.016066
    Unten rechts KachelX + 1 36669 KachelY + 1 102847 -1.38379448 -1.23946418 -79.285583 -71.016066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23944858--1.23946418) × R
    1.56000000000045e-05 × 6371000     		dl = 99.3876000000287m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23944858--1.23946418) × R
    1.56000000000045e-05 × 6371000     		dr = 99.3876000000287m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38384242--1.38379448) × cos(-1.23944858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325317759245893 × 6371000     		do = 99.3604173527536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38384242--1.38379448) × cos(-1.23946418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.325303007772108 × 6371000     		du = 99.3559118729566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23944858)-sin(-1.23946418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.325317759245893-0.325303007772108)×R²
    abs(-1.38379448--1.38384242)×1.47514737854904e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.47514737854904e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.47514737854904e-05×40589641000000     		ar = 9874.96952130518m²