Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 36667 / 103693
↖ ↑ ↗
← S 71.757612°
W 79.291077°		 ← 95.61 m → S 71.757612°
W 79.288330°		 →
↑
95.56 m
↓
↑
95.56 m
↓
S 71.758472°
W 79.291077°		 ← 95.61 m →
9 137 m²		 S 71.758472°
W 79.288330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103693 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279750823974609 y=0.791118621826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279750823974609 × 217)
    floor (0.279750823974609 × 131072)
    floor (36667.5)     		tx = 36667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791118621826172 × 217)
    floor (0.791118621826172 × 131072)
    floor (103693.5)     		ty = 103693
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36667 / 103693 ti = "17/36667/103693"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36667/103693.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36667 ÷ 217
    36667 ÷ 131072     		x = 0.279747009277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103693 ÷ 217
    103693 ÷ 131072     		y = 0.791114807128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279747009277344 × 2 - 1) × π
    -0.440505981445312 × 3.1415926535     		Λ = -1.38389036
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791114807128906 × 2 - 1) × π
    -0.582229614257812 × 3.1415926535     		Φ = -1.82912827880248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38389036} λ = -1.38389036}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82912827880248))-π/2
    2×atan(0.160553464649248)-π/2
    2×0.15919486516158-π/2
    0.31838973032316-1.57079632675     		φ = -1.25240660
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38389036} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.291077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25240660 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.757612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36667 KachelY 103693 -1.38389036 -1.25240660 -79.291077 -71.757612
    Oben rechts KachelX + 1 36668 KachelY 103693 -1.38384242 -1.25240660 -79.288330 -71.757612
    Unten links KachelX 36667 KachelY + 1 103694 -1.38389036 -1.25242160 -79.291077 -71.758472
    Unten rechts KachelX + 1 36668 KachelY + 1 103694 -1.38384242 -1.25242160 -79.288330 -71.758472
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25240660--1.25242160) × R
    1.49999999998762e-05 × 6371000     		dl = 95.5649999992114m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25240660--1.25242160) × R
    1.49999999998762e-05 × 6371000     		dr = 95.5649999992114m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38389036--1.38384242) × cos(-1.25240660) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.313037625085338 × 6371000     		do = 95.6097482899122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38389036--1.38384242) × cos(-1.25242160) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.313023378939243 × 6371000     		du = 95.6053971501988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25240660)-sin(-1.25242160))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313037625085338-0.313023378939243)×R²
    abs(-1.38384242--1.38389036)×1.42461460955201e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.42461460955201e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.42461460955201e-05×40589641000000     		ar = 9136.7376870905m²