Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 36665 / 103710
↖ ↑ ↗
← S 71.772223°
W 79.296570°		 ← 95.54 m → S 71.772223°
W 79.293823°		 →
↑
95.50 m
↓
↑
95.50 m
↓
S 71.773082°
W 79.296570°		 ← 95.53 m →
9 124 m²		 S 71.773082°
W 79.293823°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 36665 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103710 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.279735565185547 y=0.791248321533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.279735565185547 × 217)
    floor (0.279735565185547 × 131072)
    floor (36665.5)     		tx = 36665
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.791248321533203 × 217)
    floor (0.791248321533203 × 131072)
    floor (103710.5)     		ty = 103710
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 36665 / 103710 ti = "17/36665/103710"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/36665/103710.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 36665 ÷ 217
    36665 ÷ 131072     		x = 0.279731750488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103710 ÷ 217
    103710 ÷ 131072     		y = 0.791244506835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.279731750488281 × 2 - 1) × π
    -0.440536499023438 × 3.1415926535     		Λ = -1.38398623
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.791244506835938 × 2 - 1) × π
    -0.582489013671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.82994320609602
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.38398623} λ = -1.38398623}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.82994320609602))-π/2
    2×atan(0.160422678546653)-π/2
    2×0.159067363057047-π/2
    0.318134726114094-1.57079632675     		φ = -1.25266160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.38398623} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -79.296570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.25266160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.772223°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 36665 KachelY 103710 -1.38398623 -1.25266160 -79.296570 -71.772223
    Oben rechts KachelX + 1 36666 KachelY 103710 -1.38393829 -1.25266160 -79.293823 -71.772223
    Unten links KachelX 36665 KachelY + 1 103711 -1.38398623 -1.25267659 -79.296570 -71.773082
    Unten rechts KachelX + 1 36666 KachelY + 1 103711 -1.38393829 -1.25267659 -79.293823 -71.773082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.25266160--1.25267659) × R
    1.4990000000159e-05 × 6371000     		dl = 95.5012900010133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.25266160--1.25267659) × R
    1.4990000000159e-05 × 6371000     		dr = 95.5012900010133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.38398623--1.38393829) × cos(-1.25266160) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.312795431025378 × 6371000     		do = 95.5357759899248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.38398623--1.38393829) × cos(-1.25267659) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.312781193180656 × 6371000     		du = 95.5314273856645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.25266160)-sin(-1.25267659))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.312795431025378-0.312781193180656)×R²
    abs(-1.38393829--1.38398623)×1.42378447221536e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.42378447221536e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.42378447221536e-05×40589641000000     		ar = 9123.58219986043m²